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\newcommand{\crochet}[1] {\langle #1 \rangle}
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}
\renewcommand{\L}{\mathcal{L}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\C}{\mathcal{C}}
\newcommand{\M}{\mathcal{M}}
\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
\newcommand{\circc}{\mathord{\circ}}
\newcommand{\starr}{\mathord{*}}

\newcommand{\f}{\textrm{\rm\tiny f}}

\newcommand{\dontforget}[1]
{{\mbox{}\\\noindent\rule{1cm}{2mm}\hfill  #1 \hfill\rule{1cm}{2mm}}\typeout{---------- #1 ------------}}


%Anyway, the default is that * in math mode is already a binary
%operator, so $f*g$ will do the right thing. A BIN gives more space than
%an ORDinary symbol $f\mathord{*}g$, even more than an OPerator:
%$f\mathop{*}g$, a little less than a RELation: $f\mathrel{*}g$



\newcommand{\Rmax}{R_{\textrm{\tiny max}}}

\newcommand{\eqdef}     {\stackrel{{\textrm{\rm\tiny déf}}}{=}}
\newcommand{\eqlaw}     {\stackrel{\hbox{{\scriptsize loi}}}{=}}


\newcommand{\union}[3]{\bigcup\limits_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\inter}[3]{\bigcap\limits_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\engendre}[2]{\bigvee\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\produit}[3]{\prod\limits_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\limite}[2]{\lim\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\limin}[2]{\liminf\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\limsu}[2]{\limsup\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\bsup}[2]{\sup\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\binf}[2]{\inf\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\maxi}[2]{\max\limits_{#1}{#2}}
\newcommand{\integrale}[3]{\int_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\iintegrale}[3]{\iint_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\iiintegrale}[3]{\iiint_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert }
\newcommand{\cov}{\text{cov}}

% --- modifie enumerate
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{{\textrm{\rm({\it\theenumi}\/)}}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{{\textit\theenumii.}}

%\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\fenumi}  {\textrm{\rm({\textit{i}}\/)}}
\newcommand{\fenumii} {\textrm{\rm({\textit{ii}}\/)}}
\newcommand{\fenumiii}{\textrm{\rm({\textit{iii}}\/)}}
\newcommand{\fenumiv} {\textrm{\rm({\textit{iv}}\/)}}
\newcommand{\fenumv}  {\textrm{\rm({\textit{v}}\/)}}
\newcommand{\fenum}[1]{\textrm{\rm({\textit{#1}}\/)}}

%\newtheorem{theorem}{{\textsc{Théorème}}}
%\newtheorem{meth}{{\textsc{Méthode}}}
%\newtheorem{dem}{{\textsc{Démonstration}}}
%\newtheorem{remark}{{\textsc{Remarque}}}
%\newtheorem*{notation}{{\textsc{Notation}}}
%\newtheorem*{ex}{{\textsc{Exemple}}}
%\newtheorem{lemma}{{\textsc{Lemme}}}


\newtheorem{theorem}      {Th\'eor\`eme}
\newtheorem{theorem*}     {theorem}
\newtheorem{proposition}  [theorem]{Proposition}
\newtheorem{definition}   [theorem]{D\'efinition}
\newtheorem{lemma}        [theorem]{Lemme}
\newtheorem{exercise}     [theorem]{Exercice}
\newtheorem{example}      [theorem]{Exemple}
\newtheorem{simulation}   [theorem]{Simulation}
\newtheorem{notations}    [theorem]{Notations}
\newtheorem{notation}     [theorem]{Notation}
\newtheorem{remark}       [theorem]{Remarque}
\newtheorem{remarks}      [theorem]{Remarques}
\newtheorem{corollary}    [theorem]{Corollaire}
\newtheorem{result}       [theorem]{R\'esultat}
\newtheorem{hypothesis}   [theorem]{Hypoth\`ese}
\newtheorem{hypotheses}   [theorem]{Hypoth\`eses}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Page de garde 1
%\makeatletter
%\def\maketitle{%
%  \null
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%  \vfill
%  \begin{center}\leavevmode
%    \normalfont
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%    \vskip 1cm
%    {\Large \@author\par}%
%    \vskip 1cm
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%  \vfill
%  \null
%  \cleardoublepage
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%\title{Le Filtre Non Lin\'{e}aire Pour Le Chemostat}
%\author{Boutoub amine}
%\date{Commencé le 16 novembre 2012; dernière compilation le \today}
%%\begin{document}
%%\maketitle
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%%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%end page de garde 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%page de garde 2
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\def\clap#1{\hbox to 0pt{\hss #1\hss}}%
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\def\maketitle{%
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%\date{Commencé le 16 novembre 2012; dernière compilation le \today}
\date{ \today}
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\title{Le Filtre Non Lin\'{e}aire Pour Le Chemostat}
\author{Boutoub Amine}
%\location{Saint Tropez}
\blurb{%
\textbf{Universit\'{e} de Tlemcen, Alg\'{e}rie}\\
Laboratoire d'Automatique de Tlemcen\\
%Rapport de stage en entreprise\\[1em]
et\\[1em]
\textbf{INRIA MODEMIC - UMR INRA - SupAgro MISTEA, France}\\[3em]
%Maître de stage : Fabien Compillo\\
%Tuteur universitaire : Jean Luc \\
{\Huge \textbf{Rapport de stage}}\\
}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%end page de garde 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\title{Le Filtre Non Linéaire Pour Le Chemostat}
%\author{Fabien Campillo, Boutoub Amine}
%\date{Commencé le 16 novembre 2012; dernière compilation le \today}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\documentclass{report}
%\usepackage{fullpage}
%\renewcommand{\baselinestretch}{2}
%\author{Boutoub amine}
%\title{Le Filtre Non Lin\'{e}aire Pour Le Chemostat}
%\date{Commencé le 16 novembre 2012; dernière compilation le \today}
%%\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
%___________________________________
%The first line says what sort of document to make (a report). The next line says to set the margins to 1 inch all around. The third line says to double space.
%
%The next lines give the information to put on the title page.
%
%The sixth line says "Start the document", and the seventh means "Make a titlepage, and put it here", and the eighth "Make a table of contents, and put it here".
%
%Next, enter the text of your report. Where you want a chapter heading, put:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\maketitle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%{\small
%\tableofcontents
%}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\paragraph{\textrm{Remerciment}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%Avant tout d\'{e}v\'{e}loppement sur cette exp\'{e}rience professionelle, il apparait de commencer ce rapport de stage par des remerciments à ceux qui m'ont beaucoup appris au de ce stage et meme à ceux qui ont en la gentillesse de faire ce stage un moment tr\'{e}s profitable.\\
%Aussi je remerci \textbf{Fabien Compillo}, mon maitre de stage qui m'a form\'{e} et accompagn\'{e} tout au long de cette exp\'{e}rience bien sur avec beaucoup de patience et de p\'{e}dagogique et un grand remerciment \`{a} [] et [],  poste doctornt pour ses informations  et tout l'\'{e}quipe de MEDIMEC ici en France.\\


%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\paragraph{\textrm{Notations}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
%
%
%
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\textit{\textbf{Introduction}}}
Le contr\^{o}le des bioproc\'{e}d\'{e}s est n\'{e}cessairement bas\'{e} sur la mesure en ligne de la concentration de ses variables d'\'{e}tat biologique \`{a} l'aide des capteurs physiques, en effet la difficult\'{e} r\'{e}side g\'{e}n\'{e}ralement dans le co\^{u}t \'{e}lev\'{e} de ces capteurs qui ne permet pas toujours de les installer et aussi la messure de certaines variables biologiques  est parfois tr\`{e}s difficile et peut devenir une op\'{e}ration longue et d\'{e}licate. D\`{e}s lors, comment estimer l'\'{e}tat d'un syst\`{e}me  avec un nombre r\'{e}duit des capteurs ?\\
Le probl\`{e}me de filtrage consiste \`{a} estimer de fa\c{c}on r\'{e}cursive un \'{e}tat cach\'{e} au vu d'observations disponibles. L'apparition de premi\`{e}res solutions explicites remonte aux  ann\'{e}es 60 , Rudolf Kalman a introduit le premier filtre qui porte son non (le filtre de Kalman) appliqu\'{e} aux syst\`{e}mes lin\'{e}aires gaussiens \cite{Campillo}; pour les syst\`{e}mes stochastiques non lin\'{e}aires, l'estimation d'\'{e}tat reste encore un domaine de recherche ouvert o\`{u} plusieurs techniques ont \'{e}t\'{e} d\'{e}velopp\'{e}és comme le filtre de Kalman \'{e}tendu. Un des  domaines d'application principale du filtrage est la localisation, la navigation  et la poursuite de mobile dans le domaine militaire , mais aussi en robotique mobile et en vision par ordinateur.\\
La conception des estimateurs pour les bioproc\'{e}d\'{e}s fait face \`{a} plusieurs difficult\'{e}s. Tout d'abord, ce monde complexe fait intervenir des organismes vivants dont l'évolution dans le temps peut \^{e}tre difficilement d\'{e}termin\'{e} avec pr\'{e}cision. Les mod\`{e}les obtenu sont incertains et les fonctions d\'{e}crivants les vitesses de r\'{e}action biologiques sont difficiles \`{a} modiliser. De plus, ces proc\'{e}d\'{e}s sont non lin\'{e}aires.



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Le probl\`{e}me de filtrage }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Le probl\`{e}me de filtrage consiste \`{a} d\'{e}terminer les estimateurs des variables d'un syst\`{e}me dynamique repr\'{e}sent\'{e} par les variables d'\'{e}tat, sujets \`{a} des perturbations et observ\'{e}es partiellement.
%\\
%L'\'{e}volution dans le temps des \'{e}tats $X_t$ du syst\`{e}me consid\'{e}r\'{e} peut s'\'{e}crire alors sous la forme d'une partie d'\'{e}volution d\'{e}terministe et d'autre partie stochastique
%\begin{align}
%\label{eq.1}
%  d{X}_{t} &= f(X_t)\,dt + g(X_t)\,dW_{t}
%\end{align}
%\\
%o\`{u} \emph{f} est une fonction d\'{e}terministe caract\'{e}risant la dynamique et la fonction stochastique par \emph{g}. \emph{$W_t$} est un processus mod\'{e}lisant les bruits al\'{e}atoires de la dynamique. Pour d\'{e}terminer l'estimation d'un tel \'{e}tat , il est important de construire une \'{e}quation d'observation \emph{$Y_k$} à l'\'{e}tat correspandant \emph{$X_k$}. Ces mesures sont li\'{e}es d'erreur (g\'{e}n\'{e}ralement de bruit) dues \`{a} l'imperfection du capteur de mesure; les observateurs sont donn\'{e}es par l'\'{e}quation suivante
%\begin{align}
%\label{eq.22}
%  Y_k &= h(X_{t_k}) + V_k
%\end{align}
%\\
%o\`{u} \emph{$h_k$} est une fonction d'observation connue et \emph{$V_k$} une suite des variables al\'{e}atoires mod\'{e}lisant l'imperfection des observateurs.
%L'objectif de filtrage est de d\'{e}terminer l'\'{e}tat cach\`{e}e de syst\`{e}me \emph{$X_k$} \`{a} partir d'observation bruit\'{e}es \emph{$Y_k$} disponibles avec les hypoth\`{e}ses de filtrage non lin\'{e}aire les suivantes :
%\\
%\begin{itemize}
%  \item \emph{$X_0$} \'{e}tat initial est suppos\'{e} de densit\'{e} connue et ind\'{e}pendant de \emph{$V_k$} et de \emph{$W_k$}
%  \item Les observations $(Y_k,K\geq 1)$ sont mutuellement ind\'{e}pendantes
%  \item Le processus d'\'{e}tats $\emph{$X_k$}$ est Markovien, le bruit de mesure $\emph{$V_k$}$ sont ind\'{e}pendants identiquement distribu\'{e}s (iid) et ind\'{e}pendant du processus $\emph{$X_k$}$
%\end{itemize}
%
%Nous cherchont \`{a} minimiser la variance de l'erreur de filtrage qui sera optimale s'il minimise l'erreur moyenne quadratique :
%\begin{align}
%\label{eq.ff}
%   E[||X_{t_k} - \hat{X}_{t_k}||^2]
%\end{align}
%$\hat{X}_k$ d\'{e}signe l'estimateur de $X_k$, partant de l'hypoth\`{e}se des informations des \'{e}tats disponibles par les mesures sur le syst\`{e}me $Y_{1,k}$ on déduit cette estimation \`{a} partir de l'\'{e}sp\'{e}rance conditionnelle donn\'{e}e par
%\begin{align}
%\label{eq.ff}
%  \hat{X}_k &= E[X_{t_k}|Y_1 , ......,Y_k]
%\end{align}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{G\'{e}n\'{e}ralit\'{e}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Avant d'entamer tout type de mod\'{e}lisation, on va commencer par des brefs d\'{e}finitions concernant les bioproc\'{e}d\'{e}s.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Les bioproc\'{e}d\'{e}s}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le terme de bioprocéd\'{e}s est notamment  utilis\'{e}  pour d\'{e}signer tout type de système de traitement des eaux usées  par voie biologique \cite{Benyahia}, son principe est bas\'{e} sur la croissance de micro-organismes (bact\'{e}ries, levures,...) par la consomation  de nutriment (source de carbon, d'oxigène, d'azote,..) dans des conditions environnementales données (PH, temp\'{e}rature, a\'{e}ration,....)\cite{Dochain}.\\
Deux grandes types de bioproc\'{e}d\'{e}s sont distingu\'{e}s pour traiter les eaux us\'{e}es : les syt\`{e}mes a\'{e}robies fonctionnant en oxyg\`{e}ne et les syt\`{e}mes ana\'{e}robies, ces derniers exigent l'absence de tout type d'ar\'{e}ation d'oxyg\`{e}ne pour son fonctionnement. La technique utilis\'{e}e dans les syst\`{e}mes ana\'{e}robie s'appelle la d\'{e}gestion ana\'{e}robie qui a \'{e}t\'{e}  \'{e}tudi\'{e}e par Bernard et al. \cite{Bernard}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La digestion ana\'{e}robie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Appel\'{e}e aussi la m\'{e}thanisation, c'est un processus naturel de transformation de la mati\`{e}re organique par des bact\'{e}ries en absence d'oxig\`{e}ne qui conduit \`{a} la formation d'un biogaz riche en m\'{e}thane $(CH_4)$ et utilisable comme source d'énergie.\\
La d\'{e}couverte de la m\'{e}thanisation remonte à 1776 par A.Volta et a \'{e}t\'{e} utilis\'{e} depuis 1889 au Royaume -Uni pour traiter les boues de stations et aussi comme gaz d'éclairage urbain.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Le mod\`{e}le}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{le mod\`{e}le AM2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On consid\`{e}re un mod\`{e}le de processus anaérobie bas\'{e} sur deux r\'{e}actions principales :

\vspace{1cm}\textbf{ Le mod\`{e}le AM2 (AMOCO)}

     $S^1$:\hspace{0.4cm} mati\`{e}re organique \ ([g/l])

     $S^2$ :\hspace{0.4cm} acide gras volatile (AGV)([mmol/l])

     $S^1_{in}$:\hspace{0.4cm}la concentration $S^1$ en entr\'{e}e

     $S^2_{in}$:\hspace{0.4cm}la concentration $S^2$ en entr\'{e}e

     $B^1$:\hspace{0.4cm}biomasse acidog\'{e}n\`{e}se

     $B^2$:\hspace{0.4cm}biomasse méthanog\'{e}n\`{e}se

     $CH_4$:\hspace{0.4cm}m\'{e}thane

     $CO_2$:\hspace{0.4cm}dioxide de carbone
     \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(-2,-1)(0,0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=10cm,height=10cm]{fff.pdf}}}
       \put(-0.5,3.5){{\scriptsize $influent$}}
       \put(-0.5,3){{\scriptsize $S^1_{in},$}}
       \put(0,3){{\scriptsize $S^2_{in}$}}
       \put(-0.5,2.5){{\scriptsize $Q_{in}$}}
       \put(1.4,3.5){{\scriptsize $Methane$}}
       %\put(1.8,3.5){{\scriptsize $Méthane$}}
       \put(1.5,3){{\scriptsize $CO_2,$}}
       \put(2.2,3){{\scriptsize $CH_4$}}
       \put(3.5,3){{\scriptsize $S^1,$}}
       \put(0.9,0.8){{\scriptsize $S^1$}}
       \put(1.3,0.8){{\scriptsize $B^1$}}
       \put(2.2,0.8){{\scriptsize $S^2$}}
       \put(2.5,0.8){{\scriptsize $B^2$}}
       \put(3.9,3){{\scriptsize $S^2,$}}
       \put(4.3,3){{\scriptsize $B^1,$}}
       \put(4.7,3){{\scriptsize $B^2$}}
       \put(4.3,2.5){{\scriptsize $Q_{out}$}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \caption{Un chemosta de type AM2} \label{fig1}
  \end{figure}
\begin{align}
\label{eq.r1}
  %S &\longrightarrow^{r} B
  S^1  \xrightarrow[]{B1} \quad S^2 \quad \xrightarrow[]{B2} gaz
\end{align}

Ou le substrat $S^1$ est d\'{e}grad\'{e} en substrat $S^2$ par les bact\'{e}ries $B^1$(acidog\'{e}n\`{e}se) puis $S^2$ est d\'{e}grad\'{e} par les bact\'{e}ries $B^2$(m\'{e}thanog\'{e}n\`{e}se).

 Les deux r\'{e}actions biologiques sont d\'{e}crites par les sh\'{e}mas r\'{e}actionnels suivants:
     \begin{enumerate}
        \item \textbf{Acidog\'{e}n\`{e}se} avec une vitesse r\'{e}action\hspace{0.4cm}$r_1()=\mu_1(S^1)\,B^1$

        $k_1\,S^1 \quad \xrightarrow[]{r_1} B^1\,+\,k_2\,S^2\,+k_4\,CO_2$
        \item \textbf{M\'{e}thanog\'{e}n\`{e}se} avec une vitesse r\'{e}action\hspace{0.4cm}$r_2()=\mu_2(S^2)\,B^2$

        $K_3\,S^2 \quad \xrightarrow[]{r_2}B^2\,+\,k_5\,CO_2\,+k_6\,CH_4$
      \end{enumerate}
      les taux de croissance de deux r\'{e}actions $\mu_1(S^1)$ et $\mu_2(S^2)$ sont modélis\'{e}s par une loi de Monod:
      \begin{align*}
      \mu_i(S^i) &= \mu_{max_{i}}\,\frac{S^i}{S^i\,+\,K_i}\quad i=1,2
      \end{align*}
      cette fonction de Monod (voir Fig. \ref{fig2}) dans laquelle  $\mu_{max_{i}}$ repr\'{e}sente le taux de croisssance sp\'{e}ciphique maximal et $K_i$ le constant de demi saturation, explique un ph\'{e}nomene de limitation de la croissance du biomasse en fonction de manque de substrat.
      \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(10,5)(0,0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=12cm]{monod.pdf}}}
       \put(10.4,0){{\scriptsize $S_i$}}
       \put(0,5){{\scriptsize $\mu_i$}}
       \put(-0.9,4.0){{\scriptsize $\mu_{max_i}$}}
       \put(-1,2.3){{\scriptsize $\mu_{max}/2$}}
       \put(1,-0.2){{\scriptsize $K_i$}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \hspace{3cm}\caption{La fonction Monod} \label{fig2}
  \end{figure}

\vspace{0.5cm}Ce mod\`{e}le appel\'{e} AM2 , initialement d\'{e}velopp\'{e} par Bernard et al. \cite{Bernard}  et analys\'{e} en d\'{e}tailles par Benyahia et al. \cite{Benyhal} et Benyahia. \cite{Benyahia}, prend la forme d'un syst\`{e}me d'ODE de dimension  quatre  (voir Annexe E) :
\begin{align}
%\label{eq.S1}
   \dot{S}^1 &= D\,(S^1_{in}-S^1)-k_1\,\mu_1(S^1)\,B^1\,,&
   S^1(0)&= S^1_0
\\
%\label{eq.X1}
   \dot{B}^1 &= [\mu_1(S^1)-\alpha\,D]\,B^1\,,&
   B^1(0)&= B^1_0
\\
%\label{eq.S2}
   \dot{S}^2 &= D\,(S^2_{in}-S^2)+k_2\,\mu_1(S^1)\,B^1-k_3\,\mu_2(S^2)\,B^2\,,&
   S^2(0)&= S^2_0
\\
%\label{eq.X2}
   \dot{B}^2 &= [\mu_2(S^2)-\alpha\,D]\,B^2\,,&
   B^2(0)&= B^2_0
\end{align}

Ou $S^1$ est la concentration de substrat $1$, $B^1$ est la concentration la biomasse 1, $S^2$ est la concentration de substrat 2, $B^2$ est la concentration de la biomasse 2;  D est le taux de dilution, $S^1_{in}$ et $S^2_{in}$ sont les concentrations en entr\'{e}e de $S^1$ et $S^2$, les $k_i$ sont des coefficients pseudo-st{\oe}chiom\'{e}triques associ\'{e}s aux bior\'{e}actions. %Les cin\'{e}tiques $\mu_1$ et $\mu_2$ peuvent \^{e}tre de type %Monod ou Haldane

Avec:
\begin{align*}
%\label{eq.00}
  x(t)&=(x^1(t),x^2(t),x^3(t),x^4(t))^*=(S^1(t),B^1(t),S^2(t),B^2(t))^*
\end{align*}
le syst\`{e}me (1) peut  s'\'{e}crire:
\begin{align*}
%\label{eq.00}
\dot{x}(t)&=f(x(t))\,,&
x(0)=x_0
\end{align*}
ou:
\begin{align}
f(x)&=f(s^1,b^1,s^2,b^2)
   =
\begin{pmatrix}
      f_1(s^1,b^1,s^2,b^2)\\f_2(s^1,b^1,s^2,b^2)\\f_3(s^1,b^1,s^2,b^2)\\f_4(s^1,b^1,s^2,b^2)
\end{pmatrix}
\end{align}
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{\'{E}tude de mod\`{e}le AM2}
%--------------------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------
\subsubsection{Existance des point d'\'{e}quilibre}
%----------------------------------------------------
A l'\'{e}quilibre la dynamique de tels syst\`{e}mes est nulle\hspace{0.2cm} $(\dot{x}(t)=f(x(t)=0)$\hspace{0.2cm} ce qui revient \`{a} \'{e}crire :
\begin{align}
%\label{eq.S1}
    D\,(S^1_{in}-S^1)-k_1\,\mu_1(S^1)\,B^1 = 0
\\
%\label{eq.X1}
  [\mu_1(S^1)-\alpha\,D]\,B^1 = 0
\\
%\label{eq.S2}
   D\,(S^2_{in}-S^2)+k_2\,\mu_1(S^1)\,B^1-k_3\,\mu_2(S^2)\,B^2 = 0
\\
%\label{eq.X2}
   [\mu_2(S^2)-\alpha\,D]\,B^2 = 0
\end{align}
\`{A} partir de l'équation:

\hspace{5cm}$(7)=0 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}B^1=0$ o\`{u} $\alpha\,D=\mu_1(S^1)$

\hspace{5cm}$(9)=0 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}B^2=0$ o\`{u} $\alpha\,D=\mu_2(S^2)$
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(10,6)(0,0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=12cm]{etude.pdf}}}
       \put(10.4,0){$S_i$}
       \put(0,6){ $\mu_i$}
       \put(-1.2,4.2){ $\mu_{max_i}$}
       \put(8,4.3){ Cas 1}
       \put(8,3.1){ Cas 2}
       \put(-2.3,2.9){ $\alpha\,D=\mu_i(S^i)$}
       \put(-1.3,2.4){ $\mu_{max}/2$}
       \put(1.1,-0.5){ $K_i$}
       \put(2.1,-0.5){$S^{*i}=\lambda^i$}
       \end{picture}
       \end{center}
    \caption{Les solutions possibles pour $\alpha\,D=\mu_i(S^i)$} \label{fig3}
  \end{figure}

    \vspace{0.3cm}L'\'{e}quation $\alpha\,D=\mu_i(S^i)$ peut avoir deux cas (voir Fig. \ref{fig3}) :
  \vspace{1cm}\begin{itemize}
  \item $\alpha\,D<\mu_{max_i}$
   $\alpha\,D=\mu_i(S^i)$ a une solution $S^{*i}=\lambda^i$
  \item $\alpha\,D\geq\mu_{max_i}$
  $\alpha\,D=\mu_i(S^i)$ n'a pas de solution $\lambda^i=\infty$
\end{itemize}
Il existe quatre cas possibles ce qui implique quatre points d'\'{e}quilibre :
\begin{align*}
      E_i=(S^{1*},B^{1*},S^{2*},B^{2*})\,,&
      i=0:3
      \end{align*}
%---------------------------
\paragraph{Proposition}
%----------------------------
\begin{itemize}
  \item $E_0=(S^1_{in},0,S^2_{in},0)$; cet \'{e}quilibre existe toujours


  \item  $E_1=(\lambda^1,\frac{1}{\alpha\,k_1}\,(S^{1}_{in}-\lambda^1),S^{2^{*}}_{in},0)$; cet \'{e}quilibre existe si et seulement si $(S^{1}_{in}>\lambda^1)$ et $(\mu_{max_{1}}>\alpha\,D)$

  \item
  $E_2=(S^1_{in},0,\lambda^2,\frac{1}{\alpha\,k_3}\,(S^{2}_{in}-\lambda^2))$; cet \'{e}quilibre existe si et seulement si $(S^{2}_{in}>\lambda^2)$ et $(\mu_{max_{2}}>\alpha\,D)$

  \item
      $E_3=(\lambda^1,\frac{1}{\alpha\,k_1}\,(S^{1}_{in}-\lambda^1),\lambda^2,\frac{1}{\alpha\,k_3}\,(S^{2^{*}}_{in}-\lambda^2))$; qui existe si et seulement si
      $(S^{1}_{in}>\lambda^1)$ et $(S^{2}_{in}>\lambda^2)$
\end{itemize}
o\`{u} on d\'{e}finit:
\begin{align*}
\lambda^i&=\frac{\alpha\,D\,k_i}{\mu_{max_{i}}-\alpha\,D}\quad i=1,2
\end{align*}
et
\begin{align*}
S^{2^{*}}_{in}&=S^2_{in}+\frac{k_2}{k_1}\,(S^1_{in}-\lambda_1)
\end{align*}
cette valeur repr\'{e}sente la concentation  totale des AGV \`{a} l'int\'{e}rieur du bior\'{e}acteur qui est \'{e}gal \`{a} la somme des concentrations en entr\'{e}e et de celle produite par la r\'{e}action acidog\'{e}n\`{e}se.
%-------------------------------------------
\paragraph{Preuve}
%---------------------------------------------
\begin{enumerate}
  \item $B_1 = 0$ et $B_2 = 0$; les \'{e}quations (11) et (13) nous permettent de d\'{e}duire l'équilibre $E_0$.
  \item $B_1 \neq 0$ et $B_2 = 0$; \`{a} partir des \'{e}quations (12) et (11) respectivement nous calculons $\lambda^1$ et $B^{1*}$,  l'\'{e}quation (13) nous permet de d\'{e}terminer l'\'{e}quilibre $E_1$.
  \item $B_1 = 0$ et $B_2 \neq 0$; l' \'{e}quation (14) permet de calculer $\lambda^1$ et avec l'\'{e}quation (13) on d\'{e}duit l'\'{e}quilibre $E_2$.
  \item $B_1 \neq 0$ et $B_2 \neq 0$;  les \'{e}quations (11) et (14) nous permettent de d\'{e}duire l'\'{e}quilibre $E_3$.
\end{enumerate}
%---------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{\'{E}tude de la stabilit\'{e} des points d'\'{e}quilibre}
%---------------------------------------------------------------------------
 Le mod\`{e}le AM2 a un comportement non lin\'{e}aire et la stabilit\'{e} de ses points d'\'{e}quilibre revient à l'\'{e}tude des valeurs propres de la matrice jacobienne de ce syst\`{e}me autour de chaque \'{e}quilibre $E_i$ pour $i=0:3$ (voir Annexe G)
 \begin{displaymath}
\mathbf{J}=
\left[\begin{array}{cccc}
-D-k_1\mu^{'}_1(S_1)\,B_1     & -k_1\,\mu_1(S_1)    &   0 & 0\\
 \mu^{'}_1(S_1)\,B_1    &  \mu_1(S_1)-\alpha\,D     &    0    &0  \\
 k_2\,\mu^{'}_1(S_1)\,B_1 & k_2\mu_1(S_1)& D-k_3\,\mu^{'}_2(S_2)\,B_2 & -k_3\,\mu_2(S_2)\\
 0   & 0  &  \mu^{'}_2(S_2)\,B_2 & \mu_2(S_2)-\alpha\,D
\end{array}\right]
\end{displaymath}
 la matrice jacobienne (J) est une matrice par bloc; les valeurs propres de cette matrice sont les valeurs propres de la matrice :
  \begin{displaymath}
\mathbf{J_{11}}=
\left[\begin{array}{cc}
-D-k_1\mu^{'}_1(S_1)\,B_1     & -k_1\,\mu_1(S_1) \\ \mu^{'}_1(S_1)\,B_1    &  \mu_1(S_1)-\alpha\,D
\end{array}\right]
\end{displaymath}
et
\begin{displaymath}
\mathbf{J_{22}}=
\left[\begin{array}{cc}
    D-k_3\,\mu^{'}_2(S_2)\,B_2 & -k_3\,\mu_2(S_2)\\
   \mu^{'}_2(S_2)\,B_2 & \mu_2(S_2)-\alpha\,D
\end{array}\right]
\end{displaymath}
la stabilit\'{e} des points d'\'{e}quilibre revient \`{a} dire que  les valeurs propres ont des parties r\'{e}elles n\'{e}gatives et cela sera v\'{e}rifi\'{e} \`{a} partir des conditions suivantes :
\begin{align*}
det(J_{ii})&>0 \quad i=1,2
\\
trace(J_{ii})&<0
\end{align*}
\begin{itemize}
  \item $E_0$ est localement asymptotiquement stable si et seulement si $\mu_1(S_1)<\alpha\,D$ et $\mu_2(S_2)<\alpha\,D$. C'est le lessivage totale o\`{u} l'exclusion des deux \'{e}speces bact\'{e}riennes $B^1$ et $B^2$ dans le bioproc\'{e}d\'{e}, on peut donner comme raison que les parametres de soutirage (les concentrations de $B^1$ et $B^2$) dans le milieu r\'{e}actionnel sont grands ce qui ne permet pas de d\'{e}grader la mati\`{e}re organique (les substrats $S^1$ et $S^2$).

  \item $E_1$ est localement asymptotiquement stable si et seulement si $S^1_{in}>\lambda_1$ et $S^{2^{*}}_{in}<\lambda_2$, un lessivage partiel de la  deuxi\`{e}me esp\`{e}ce bact\'{e}rienne (l'exclusion de la bact\'{e}rie m\'{e}thanog\'{e}n\`{e}se $B^2$) cependant le substrat $S^1$ est compl\`{e}tement d\'{e}grad\'{e} par la bact\'{e}rie $B^1$.
  \item $E_2$ est LAS si seulement si $S^1_{in}<\lambda_1$ et $S^2_{in}>\lambda_2$, le grand soutirage de la bact\'{e}rie m\'{e}thanog\'{e}n\`{e}se a pour cons\'{e}quense de ne pas d\'{e}grader le substrat $S^1$ ce qui revient \`{a} avoir une concentration $S^2_{in}$ qui est d\'{e}grad\'{e}e par l'espece bact\'{e}rienne $B^2$.
  \item $E_3$ est LAS si et seulemnet si  $S^1_{in}>\lambda_1$ et $S^{2^{*}}_{in}>\lambda_2$, la coexistance des deux esp\`{e}ces bact\'{e}riennes $B^1$ et $B^2$ avec la disponibilit\'{e} des quantit\'{e}s suffisantes de substrat $S^1$ et de de l'AGV $S^2$, on peut dire que autour de  cet \'{e}quilibre le syst\`{e}me fonctionne dans de bonnes conditions.
\end{itemize}
%----------------------------------------------------------
\subsubsection{Simulation Num\'{e}rique}
%----------------------------------------------------------
On voit que ce syst\`{e}me (6)-(9) peut se repr\'{e}senter sous la forme de deux sous syst\`{e}mes en dimension deux tel que:
\begin{itemize}
  \item le premier sous syst\`{e}me se comporte comme un chemostat classique (Voir Annexe E) simple \`{a} etudier, il depend que du substrat $S^1$ et de la biomasse $B^1$
      \begin{align*}
      \dot{S}^1 &= D\,(S^1_{in}-S^1)-k_1\,\mu_1(S^1)\,B^1
      \\
      \dot{B}^1 &= [\mu_1(S^1)-\alpha\,D]\,B^1
      \end{align*}
  \item le deuxi\`{e}me sous syst\`{e}me d\'{e}pend  de substrat $S^2$ et de la biomasse  $B^2$ et aussi d'un autre param\`{e}tre qui repr\'{e}sente la concentration de l'AGV produite par le premier sous-syst\`{e}me.\\
       Nous supposons maintenant que le premier sous syt\`{e}me tend vers le r\'{e}gime permanent le deuxieme sous syt\`{e}me peut s'\'{e}crire sous la forme d'un chemostat classique ne dependent que de deux variables :
      \begin{align*}
      \dot{S}^2 &= D\,(S^{2^{*}}_{in}-S^2)+-k_3\,\mu_2(S^2)\,B^2
      \\
     \dot{B}^2 &= [\mu_2(S^2)-\alpha\,D]\,B^2
     \end{align*}
\end{itemize}
Le tableau suivant pr\'{e}sente les valeurs de tout les param\`{e}tres utilis\'{e} pour la simulation num\'{e}rique .\\
%===================
\begin{center}
\begin{tabular}{l||c|c|c|c|c|c}
Param\`{e}tre  & $\mu_{max_{i}}[\frac{1}{j}]$ &  $K_1 [\frac{g}{l}]$ &$K_2 [\frac{mmol}{l}]$ & $k_1 [\frac{g}{g}]$ & $k_2 [\frac{mmol}{g}]$ & $k_3 [\frac{mmol}{g}]$  \\
\hline
 Valeurs Utilis\'{e}es &   5   &       10      &       10     &  13.2        &      11.6          &    26.8\\
\hline\hline
Param\`{e}tre  &  $\alpha$ &$D [\frac{1}{j}]$  &  $S^{1}_{in} [\frac{g}{l}] $  &  $S^{2}_{in} [\frac{mmol}{l}] $ \\
\hline
 Valeurs Utilis\'{e}es &   0.5 &  0.8     &      5      &      1.5
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.5cm}
%=======================================================
les param\`{e}tres donn\'{e}s sur le tableau v\'{e}rifient l'existence de tous les points d'\'{e}quilibre et on distingue que :
\begin{align*}
S^{1}_{in}&>\lambda^1 \,,&
S^{2}_{in}&>\lambda^2 \,,&
S^{2^{*}}_{in}&>\lambda^2
\end{align*}
ce qui revient de dire que
\begin{itemize}
  \item $E_0$ est un \'{e}quilibre instable
  \item $E_1$ est un \'{e}quilibre localement asymptotiquement stable
  \item $E_2$ est un \'{e}quilibre instable
  \item $E_3$ est un \'{e}quilibre localement asymptotiquement stable
\end{itemize}
%================================================
 \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(9.5,13.20)(4,0)
       \put(-3,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=15cm,height=19cm]{s1b1pahse.pdf}}}
       \put(6,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=15cm,height=19cm]{s1b1temps.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-6.25cm}
       \caption{Plan de phase $(S^1,B^1)$: convergence globale vers $E_1$ pour tout conditions initiales }
       \label{fig4}
        %\vspace{-3cm}
\end{figure}
%========================================
Pour toutes conditions initiales, les trajectoires du premier sous-syst\`{e}me tendent vers le point d'\'{e}quilibre $E_1$ (voir Fig. \ref{fig4}); la Fig.4 \`{a} droite  montre que  au cours de temps (heures/jours) ce sous-syst\`{e}me rejoint le r\'{e}gime permanent (l'\'{e}tat stationnaire)
%=================
 \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(9.5,12.80)(4,0)
       \put(-3,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=15cm,height=19cm]{s2b2phase.pdf}}}
       \put(6,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=15cm,height=19cm]{s2b2temps.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-6.5cm}
       \caption{Plan de phase $(S^2,B^2)$: convergence globale vers $E_3$ pour tout conditions initiales. }
       \label{fig5}
        %\vspace{-3cm}
 \end{figure}
et c'est pareille pour le comportement de deuxieme sous syst\`{e}me (voir Fig. \ref{fig5}) mais dans ce cas-la on aura quatre points d'\'{e}quilibre $E_0$ ,$E_1$ et $E_2$ qui sont instables et tout les trajectoires tendent vers l'\'{e}quilbre stable $E3$ et la Fig. 5 \`{a} gauche confirme qu' apr\`{e}s un certain moment (le régime transitoire) les solutions du deuxieme sous-syst\`{e}me tendent vers le r\'{e}gime permanent (l'\'{e}tat stationnaire).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le mod\`{e}le stochastique AM2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Consid\'{e}ront la version de mod\`{e}le AM2 stochastique propos\'{e}e par Campillo et al. \cite{campllal} et Benyahia et al. \cite{Benyhal}; le syst\`{e}me d'\'{e}tat d\'{e}terministe $x(t)$ est remplac\'{e} dans le cas stochastique par:
\begin{align*}
X_t&=(X^1_t,X^2_t,X^3_t,X^4_t)^* = (S^1_t,B^1_t,S^2_t,B^2_t)^*
\end{align*}
o\`{u} la dynamique est donn\'{e}e par les \'{e}quations diff\'{e}rentielles stochastiques suivantes (EDS):
\begin{align*}
%\label{eq.S1}
   d\,S^{1}_t &=[ D\,(S^{1}_{in}-S^{1}_t)-k_1\,\mu_1(S^{1}_t)\,B^{1}_t]\,dt+c_1\,\sqrt{S^{1}_t}\,dW^{1}_t
\\
%\label{eq.X1}
   d\,B^{1}_t &= [\mu_1(S^{1}_t)-\alpha\,D]\,B^{1}_t\,dt+c_2\,\sqrt{B^{1}_t}\,dW^{2}_t
\\
%\label{eq.S2}
   d\,S^{2}_t &= [D\,(S^{2}_{in}-S^{2}_t)+k_2\,\mu_1(S^{1}_t)\,B^{1}_t-k_3\,\mu_2(S^{2}_t)\,B^{2}_t]\,dt+c_3\,\sqrt{S^{2}_t}\,dW^{3}_t
\\
%\label{eq.X2}
   d\,B^{2}_t &= [\mu_2(S^{2}_t)-\alpha\,D]\,B^{2}_t\,dt+c_4\,\sqrt{B^{2}_t}\,dW^{4}_t
\end{align*}
Le syst\`{e}me peut s'\'{e}crire sous la forme :
\begin{align}
%\label{eq.1}
 d{X}_{t} &= f(X_t)\,dt + g(X_t)\,dW_{t}\,,&
      t\in [0,T]\,,&&
     X_0 \sim\nu
\end{align}
o\`{u} $f$ est donn\'{e} par (6) pour le mod\`{e}le déterministe et :
\begin{align*}
%\label{eq.1212}
 g(x) &=g(S^1,B^1,S^2,B^2) = diag(c_1\sqrt{S^1},c_2\sqrt{B^1},c_3\sqrt{S^2},c_4\sqrt{B^2})
\end{align*}
$(W_t)$ est le mouvement Brownien standard de dimension 4 avec  $W_t=(W^1_t,W^2_t,W^3_t,W^4_t)$ ind\'{e}pendant de $X_0$. Certaines explications sont donn\'{e}es dans l' (Annexe B1) pour l'\'{e}quation dieff\'{e}rentil stochastique (Annexe B2).

On va introduire $p_{X_{t}}(x)$ la densit\'{e} de $X_t$ et $Q_t(x^{'}\mid x)$ le noyau de transition par d\'{e}finition :
\begin{align*}
Q_t(x'\mid x)&=p_{X_{t+s}\mid X_s=x}(x^{'})
\end{align*}
tel que pour toute fonction $\phi: \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}$ r\'{e}guli\`{e}re et born\'{e}e :
\begin{align*}
\mathbb{E}[\phi(X_t)]&=\int\phi (x)\,p_{X_{t}}(x)\,dx
\\
\mathbb{E}[\phi(X_t)\mid X_0=x]&=\int\phi (x)\,Q_t(x^{'}\mid x)\,dx
\end{align*}
Ces lois sont  des solutions de l'\'{e}quation de Fokker-planck qui sont difficiles \`{a} determiner m\^{e}me num\'{e}riquement \cite{campllal}; pour cela on est ramen\'{e} \`{a} une approximation simple dite approximation lin\'{e}aire (voir Annexe D), c'est \`{a} dire la distribution de $X_t$ est approximative la distribution gaussienne $N(\bar{m}(t),\bar{P}(t))$ (voir Annexe B.2) qui est donn\'{e}e par:
\begin{align*}
%\label{eq.ff}
  \dot{\bar{m}}(t) &= f(\bar{m}(t))\,,&&
  \bar{m}{0} = \mathbb{E}(x_0)
\\
%\label{eq.d}
 \dot{\bar{P}}(t) &=F(\bar{m}(t))\bar{P}{t}+\bar{P}(t)\,F(\bar{m}(t))^*+g(\bar{m}(t))\,g(\bar{m}(t))^*\,,&&
  P(0) = cov(X_0)
\end{align*}
avec $F(x) = [\partial f_i(t)/\partial x_j]_{1\leq i,j\leq n.}$ (voir Annexe G)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le mod\`{e}le d'observation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 les observations sont données en temps discret :
\begin{align*}
%\label{eq.y1}
   Y^1_k &= S^1_{t_k} + \sigma_1\,S^1_{t_k}\,V^1_k
\\
%\label{eq.y2}
   Y^2_k &= S^2_{t_k} + \sigma_2\,S^2_{t_k}\,V^2_k
\end{align*}
avec $k=1,......,N_{obs}$ et on suppose que $t_k = k\,\triangle $ avec $\triangle = T/N_{obs}.$
Posant $Y_k = (Y^1_k,Y^2_k)^*$ et $V_k = (V^1_k,V^2_k)^*$, l'\'{e}quation d'observation peut s'\'{e}crire:
\begin{align}
\label{eq.y3}
   Y_k &= H\,X_{t_k} + \Sigma(X_{t_k})\,V_k
\end{align}
Avec
\begin{align*}
 H
   &=
\begin{pmatrix}
      1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
&
\Sigma(x)
   &=
\begin{pmatrix}
     \sigma_1\,S^1 & 0 \\ 0 & \sigma_2\,S^2
\end{pmatrix}
\end{align*}
%============================================
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0.9){\line(1,0){14}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
%\vspace{0cm}\textbf{Require:}
\vspace{-1.2cm}
\hspace{1cm}\emph{T} le temps finale

\hspace{1cm}\emph{$N_{obs}$} le nombre d'observations

\hspace{1cm}$\nu$ \'{e}chantillonneur de distribution initiale

\hspace{0.25cm} $X  \sim \nu \,\hspace{0.25cm}\sharp \,$initialisation d'\'{e}tat

\hspace{0.25cm} $\Delta \leftarrow \emph{T} /\emph{$N_{obs}$},t^s \leftarrow 0, \delta^s \leftarrow \Delta/ N_s$

\hspace{0.25cm}\textbf{return} $(t^s,X_0)$

\hspace{0.25cm}$\textbf{for}\, \emph{k}=1...N_{obs}\, \textbf{do}$

\hspace{0.65cm}$\textbf{for}\, \emph{l}=1...N_s\, \textbf{do}$

\hspace{1cm}$ w\leftarrow nrand(4,1)\, \hspace{0.25cm}\sharp\, gaussien\, N(0,I_{4\times4})$

\hspace{1cm}$X \leftarrow X + f(X)\,\delta^s + \sqrt{\delta^s}\,g(X)\,w \,\hspace{0.25cm}\sharp$ actualisation d'\'{e}tat

\hspace{1cm}$ t^s\leftarrow t^s \,+\,\delta^s $

\hspace{1cm}\textbf{return} $(t^s,X)$

\hspace{0.65cm} \textbf{ end for}

\hspace{0.65cm}$ v\leftarrow nrand(2,1)\, \hspace{0.25cm}\sharp\, gaussien\, N(0,I_{2\times2})$

\hspace{0.65cm}$ Y=H\,X\,+\,\Sigma(X)v \hspace{0.25cm}\sharp$\,l'observation

\hspace{0.65cm}\textbf{return} $(k\,\Delta,Y)$

\hspace{0.25cm}\textbf{ end for}
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){14}}
\put(1,-1){Algorithme 1: \emph{simulation de l'\'{e}tat du syst\`{e}me et de l'observation}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
%----------------------------------------------------------
\subsubsection{Simulation Num\'{e}rique}
%----------------------------------------------------------
Le syst\`{e}me subit  des perturbations internes avec des mesures bruit\'{e}es, le comportement de la biomasse en fonction de substrat (voir Fig. \ref{fig6}) explique bien le ph\'{e}nom\`{e}ne de la d\'{e}gradation de substrat par la biomasse. Au d\'{e}but la quantit\'{e} du substrat atteint une valeur de concentration maximale de l'autre cot\'{e} la concentration de la biomasse reste \`{a} une valeur constante et apr\`{e}s un certain moment, on voit une augmentation de la quantit\'{e} de biomasse suivi par  une diminution en substrat.\\
%=======================================================
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(28,14.5)(7,2)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=30cm,height=30cm]{th1.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-11cm}
       \caption{Le plan de phase pour le processus simul\'{e} ($S^1,B^1$) et ($S^2,B^2$)}
       \label{fig6}
\end{figure}
%=======================================================
%================================================================
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(28,18)(7,2)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=30cm,height=30cm]{th2.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-9cm}
       \caption{La simulation de processus $S^1(t)$,$B^1(t)$,$S^2(t)$, et $B^2(t)$ avec l'observation}
       \label{fig7}
\end{figure}

La Fig. 7 repr\'{e}sente la r\'{e}ponse temporelle bruit\'{e}e de chaque \'{e}l\'{e}ment r\'{e}actif de la bioproc\'{e}d\'{e} avec une observation partielle que des substrats S1 et S2.\\
%Dans cette section nous avons d\'{e}fini le chemostat (appel\'{e} aussi le mod\`{e}le  AM2 ) et son mod\`{e}le math\'{e}matique associ\'{e}, pour avoir une id\'{e}e sur le comportement de ce proc\'{e}ssus, nous avons \'{e}tudi\'{e} la stabilit\'{e} de ses points d'\'{e}quilibre mais g\'{e}n\'{e}ralement ces types des syst\`{e}mes sont mal connues et ses mesure sont incertaine pour cela nous avons abordé un mod\`{e}le stochastique de chemostat avec de bruit interne de processus \ $W_t$ et de mesusre \ $V_k$ qui sont gaussiens. l'estimation des variables d'état de mod\`{a}le AM2  stochastique et non lin\'{e}aire avec la pr\'{e}sence d'un mod\`{e}le d'observation fait appel au filtrage non lin\'{e}aire.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le mod\`{e}le de Markov cach\'{e}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Le mod\`{e}le de Markov permet de mod\'{e}liser des syst\`{e}me avec d\'{e}pendance temporelles complexes, g\'{e}n\'{e}ralement il suffit de sp\'{e}cifier les densit\'{e}s transition et de d'\'{e}mission.
Pour tout $t \ \in [0,T], k=1,.,N_{obs}$  Le mod\`{e}le espace d'\'{e}tat \ $(X_t,Y_k)$ \ est dit un mod\`{e}le de Markov cach\'{e} s'il v\'{e}rifie les propri\'{e}t\'{e}s suivantes:
\subsubsection{\emph{Propri\'{e}t\'{e} de Markov}}
Le processus d'état \ $X_t$ \ est un procrssus de Markov avec le canal de transition donn\'{e}e comme suit:
\begin{align*}
p_{X_t\mid X_{t_{0:k-1}}=x_{0:k-1}}(x')&=p_{X_t\mid X_{t_{k-1}}=x_{k-1}}(x')=Q_{t-t_{k-1}}(x'\mid x_{k-1})
\end{align*}
\subsubsection{\emph{Canal sans m\'{e}moire}}
Dans le cas du mod\`{e}le de Markov, l'hypoth\`{e}se pos\'{e}e pour relier les observations sachant les \'{e}tats cach\'{e}s est de supposer que les observations  \ $Y_k$ \ et les \'{e}tats cach\'{e}s \ $(X_{t_{k'}})_{k'\neq k}$ sont ind\'{e}pendants et que \ $Y_k$ \ ne d\'{e}pend que de \ $X_{t_{k}}$:
\begin{align*}
p_{Y_{1:N_{obs}}\mid X_{t_{1}:N_{obs}}=x_{1:N_{obs}}}(y_{1:N_{obs}})&=\prod^{N_{obs}}_{k=1}\,p_{Y_{k}\mid X_{t_{1}:N_{obs}}=x_{1:N_{obs}}}(y_k)
\end{align*}
plus pr\'{e}cis\'{e}ment :
\begin{align*}
p_{Y_{1:N_{obs}}\mid X_{t_{1}:N_{obs}}=x_{1:N_{obs}}}(y_{1:N_{obs}})&=\prod^{N_{obs}}_{k=1}\,p_{Y_{k}\mid X_{t_{k}}=x_k}(y_k)
\end{align*}

%\newpage
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Filtre Non lin\'{e}aire}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le filtre optimale}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le filtrage optimal consiste \`{a} calculer la densit\'{e} conditionnelle $p_{X_{t_{k}}|Y_{1:k}=y_{1:k}}(x)$ de $X_{t_{k}}$ sachant les observations \ $Y_{1:k}=y_{1:k}$ \ jusqu'\`{a} l'instant $k$.\\
La suite des lois de probabilit\'{e} conditionnelle \ $(p_{X_{t_{k}}|Y_{1:k}=y_{1:k}}(x))_{k\geq 0}$ \ est appel\'{e} le filtre optimal; le calcul de cette densit\'{e} conditionnelle ne doit \^{e}tre fonction que de la derni\`{e}re observation $Y_k$ et de la loi conditionnelle pr\'{e}c\'{e}dente  \ $p_{X_{t_{k-1}}|Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}}(x)$ \ . Le passage entre \ $p_{X_{t_{k}}|Y_{1:k}=y_{1:k}}(x)$ \ et \ $p_{X_{t_{k-1}}|Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}}(x)$ \ fait intervenir la loi conditionnelle \ $p_{X_t|Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}}(x)$ \ de \ $X_t$ \ sachant les observations \ $Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}$ \ jusqu'\`{a} l'instant \ $k-1$; la suite des lois de probabilit\'{e} \ $p_{X_t|Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}}(x)$ \ est appel\'{e}e filtre de pr\'{e}diction.\\
L'\'{e}volution du filtre optimal se d\'{e}compose en deux \'{e}tapes. \\
Pour \ $t \in [t_{k-1},t_k]$, on d\'{e}finit le filtre pr\'{e}dit:
\begin{align}
\label{eq.321}
 \pi^-_t(x) &= p_{X_t|Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}}(x)
\end{align}
\hspace{0.5cm} Et pour $t=t_k$ le filtre corrig\'{e}:
\begin{align}
\label{eq.321}
 \pi_{t_k}(x) &= p_{X_{t_{k}}|Y_{1:k}=y_{1:k}}(x)
\end{align}

\begin{proposition}
\label{prop 3}
Le filtre non lin\'{e}aire optimal, \'{e}galement appel\'{e} le filtre bay\'{e}sien s\'{e}quentiel, est d\'{e}fini en deux \'{e}tapes:

\vspace{1cm}\emph{(i)} pr\'{e}diction pour $t_{k-1}<t<t_k$:
\begin{align}
\label{eq.3211}
 \pi^-_t(x') &= \int_{\mathbb{R}^n}\,\pi_{t_{k-1}}(x)\,Q_{t-t_{k-1}}(x'\mid x)\,dx
\end{align}

\vspace{0.5cm}\emph{(ii)} correction pour $t=t_k$:

\begin{align}
\label{eq.f}
\pi_{t_k}(x) &= \frac{L(y_k\mid x)\,\pi_{t_k}(x)}{\int_{\mathbb{R}^n}\,L(y_k\mid x')\,\pi_{t_k}(x') \, dx'}
\end{align}
\end{proposition}
\hspace{1.25cm}ou $L(y_k\mid x)$ est la fonction de vraisemblance locale d\'{e}ninie par:
\begin{align}
\label{eq.kf}
 L(y_k\mid x)&=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi\,[\sigma_1\,s^1]^2}}\exp\,(-\frac{|y_1-s^1|^2}{2\,[\sigma_1\,s^1]^2})\times \frac{1}{\sqrt{2\,\pi\,[\sigma_1\,s^2]^2}}\exp\,(-\frac{|y_1-s^2|^2}{2\,[\sigma_1\,s^2]^2})
\end{align}
L'application de ces \'{e}tapes \ (i) \ et \ (ii) de la Proposition \ref{prop 3} donne la solution analytique du filtrage non lin\'{e}aire optimal, mais malheuresement d\`{e}s que le mod\`{e}le d'\'{e}volution du syt\`{e}me ou/et l'\'{e}quation de son observation est non lin\'{e}aire, les calculs des int\'{e}grales dans \ (20) \ et \ (21) devient impossible, donc pour cela  ils existent quelques approximations techniques comme:

\vspace{0.35cm}\emph{(i)}\,le filtre de Kalman \'{e}tendu

\vspace{0.35cm}\emph{(ii)}\,les filtres particulaires

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le filtre de Kalman \'{e}tendu \,(FKE)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pour l'application du filtre de Kalman \'{e}tendu, on va supposer que les modèles non linéaires de l'\'{e}volution et de l'observation donnés par les équations (15) et (17) peuvent avoir une approximation linéaire [voir Annexe D.1] et on va supposer aussi que les bruits de chaque mod\`{e}les sont gaussiens o\`{u} on connait ses moyennes et ses covariances [voir Annexe B.1]; donc dans ce cas, les densit\'{e}s de priori $\pi^{-}_t(x)$ et de posteriori $\pi_{t_{k}}(x)$  donn\'{e}es d'apr\`{e}s la Proposition \ref{prop 3} sont gaussiennes.  \\
%====================================================================
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{0.0cm}

$\sharp$ \hspace{0.04cm} initialisation

$\hat{X}\leftarrow \mathbb{E}(X_0),R\leftarrow cov(X_0)$

\textbf{return} $\,(0,\hat{X},R)$

\textbf{for }$ k=1...N_{obs}\, \textbf{do}$

\hspace{0.5cm}$\sharp$ \hspace{0.04cm} pr\'{e}diction
\begin{align*}
%\label{eq.ff}
  \dot{\hat{X_t}}^- &= f(\hat{X_t}^-)\,,&
  \quad\mbox{avec}\,&&
  \hat{X}_{t_{k-1}}^- &= \hat{X}_{t_{k-1}}
\\
%\label{eq.d}
 \dot{R_t} &=F(\hat{X_t}^-)\,R_{t}+R_t\,F^T(\hat{X_t})+g(\hat{X_t}^-)\,g^T(\hat{X_t}^-)\,,&
 \quad\mbox{  }\,&&
 {R}^-_{t_{k-1}} &= {R}_{t_{k-1}}
\end{align*}
\hspace{1.1cm}$\sharp$ \hspace{0.04cm} correction

\hspace{0.5cm}$\Sigma\leftarrow\Sigma(\hat{X^-_{t_{k}}})$

\hspace{0.5cm}$K\leftarrow R_{t_{k}}^-\,H^*\,[H\,R^-\,H^*+\Sigma\,\Sigma^*]^{-1}$

\hspace{0.5cm}$\hat{X}\leftarrow \hat{X}^-_{t_{k}} + K_{t_{k}}\,(Y_{k}-H\,\hat{X}^-_{t_{k}})$

\hspace{0.5cm}$R\leftarrow(I-K_{t_{k}}\,H_)\,R\,(I-K_{t_{k}}\,H)^* + K\,\Sigma\,\Sigma^*K^*$

\hspace{0.5cm}\textbf{return} $(k\,\Delta,\hat{X},R)$

\textbf{end for}
\vspace{0.5cm}
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\put(1,-0.75){Algorithme 2:\emph{ Le filtre de Kalman \'{e}tendu pour le mod\`{e}le AM2}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
\\
Nous adaptons le filtre de Kalman étendu pr\'{e}sent\'{e} dans l'Annexe D, voir l'algorithme 2. Pour l'\'{e}tape de la pr\'{e}diction, $\pi^{-}_t(x)$ est calcul\'{e} à partir de la r\'{e}solution d'un syst\`{e}me EDO en dimension $4+4\times4=20$ qui a la forme:
\begin{align}
\label{eq.44}
\dot{\xi}(t)&=\Psi(\xi(t))\,,
\quad\mbox{pour t} \in\, [t_{k-1},t_k]
\end{align}
ou
\begin{align*}
\xi(t)
&=
\begin{pmatrix}
   \hat{X}^-_t\\ reshape_{16\times1}(R^-(t))
\end{pmatrix}
\in\,\mathbb{R}^{20}
\end{align*}
ou $r=reshape_{16\times1}(R)$, signifie que $r_i=R_{\lfloor i/4\rfloor +1,i-4\lfloor i/4\rfloor}$. Donc:
\begin{align*}
%\label{eq.000}
R^-(t)&=reshape_{4\times4}(\xi_{5:20}(t))
\end{align*}
ou $R=reshape_{4\times4}(r)$, signifie que $R_{i,j}=r_{4\,(i-1)+j}$

La matrice $K$ dans l'algorithme 2. est appel\'{e}e la matrice de gain de Kalman et on remarque qu' apr\`{e}s avoir pr\'{e}dit la variable d'\'{e}tat $X^-_t$ et sa covariance $R^-(t)$, les estimateurs aposteriori sont obtenus \`{a} partir de l'\'{e}tape de correction avec l'utilisation des observations disponibles $Y_k$. Les exposants ci dessus comme "$\wedge$" et $"-"$ sont utilis\'{e}s respectivement pour indiquer l'estimation de l'\'{e}tat et  pour tout les param\`{e}tres concernant l'\'{e}tape de la pr\'{e}diction.
%====================================================================
\subsubsection{Simulation num\'{e}rique }
%======================================================================
Le tableau suivant pr\'{e}sente les valeurs de tous les param\`{e}tres utilis\'{e}s pour la simulation num\'{e}rique .  \\
%===================
\begin{center}
\begin{tabular}{l||c|c|c|c|c|c}
Param\`{e}tre  & $\mu_{max_{i}}[\frac{1}{j}]$ &  $K_1 [\frac{g}{l}]$ &$K_2 [\frac{mmol}{l}]$ & $k_1 [\frac{g}{g}]$ & $k_2 [\frac{mmol}{g}]$ & $k_3 [\frac{mmol}{g}]$  \\
\hline
 Valeurs Utilis\'{e}es &      &            &            &          &                &    \\
\hline\hline
Param\`{e}tre  &  $\alpha$ &$D [\frac{1}{j}]$  &  $S^{1}_{in} [\frac{g}{l}] $  &  $S^{2}_{in} [\frac{mmol}{l}] $ \\
\hline
 Valeurs Utilis\'{e}es &    &       &            &
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.5cm}
%=======================================================
\paragraph{\emph{L'\'{e}tape de p\'{e}diction}}
%=========================================================
Dans la Fig. 8 à gauche, la courbe en vert rep\'{e}sente le portrait de phase du processus stochastique  $(S^1,B^1)$,  dans le filtre de Kalman \'{e}tendu, l'\'{e}tape de pr\'{e}diction (voir Annexe D) consiste exactement \`{a} calculer le processus $X_t$ qui est donn\'{e} par une distribution gaussienne (voir Annexe B) tel que pour une condition initiale donn\'{e}e, sa moyenne (le processus d\'{e}terministe) est simul\'{e} par la courbe en rouge  et sa covariane est repr\'{e}sent\'{e}e avec des ellipses de confiance  en couleur noir. On peut dire la m\^{e}me chose pour la  Fig. 8 \`{a} droite o\`{u} le portrait de phase $(S^2,B^2)$ est représent\'{e}.
La Fig. 9 repr\'{e}sente la simulation de processus $S^1,S^2,B^1 et B^2$ au cours de temps en couleur vert, les courbes en couleur rouge repr\'{e}sentent les \'{e}tats pr\'{e}dits par le filtre de Kalman \'{e}tendu (voir Algorithme 2.), dans le plan de phase la covariance \'{e}tait repr\'{e}sent\'{e}e avec des ellipses, dans ce cas on parle de tube d'erreur en noir; les observations bruit\'{e}es des subsrats $S^1$ et $S^2$ sont donn\'{e}es par des points en couleur jaune.

%====================================================================
\paragraph{\emph{L'\'{e}tape de correction}}
%======================================================================
\`{A} chaque instant $t_k$ on veut toute l'information sur $X_{t_{k}}$ (l'\'{e}tat courant) contenu dans le mod\`{e}le en disponibilit\'{e} des observations $Y_{k=1:k}$ (voir Annexe D), contrairement \`{a} l'\'{e}tape de la pr\'{e}diction, la correction est bas\'{e}e sur la mise \`{a} jours de l'information apport\'{e}e par les observations voir l'algorithme 2.

L'estimation finale est donn\'{e}e par l'\'{e}tape de correction dans l'algorithme 2. Dans la Fig. 10, le portrait de phase de l'estimation est donn\'{e} en couleur rouge avec des ellipses de confiance en couleur noir  qui sont tr\'{e}s petites en diam\`{e}tre par rapport \`{a} l'\'{e}tape de pr\'{e}diction ce qui revient de dire que le risque quadratique est minimum. Le gain $K$ dans l'algorithme 2. permet de v\'{e}rifier cette cons\'{e}quence (voir Annexe D). Dans la Fig. 11 les estimations sont donn\'{e}es par des courbes de couleur rouge, les observations des substrats $S^1$ et $S^2$ par des points de couleur jaune et le tube d'erreur en couleur noire, ces courbes  confirment exactement les résultats dans le portraits de phase c'est-\`{a}-dire l'estimation depend des observations et l'erreur quadratique est minimum.\\

%=====================================================================
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(17,15.80)(4.4,1.0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=26cm,height=26cm]{amipahse.pdf}}}7
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-9.0cm}
       \caption{!!!!}
       \label{fig8}
  \end{figure}
%===================================================================
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(17,14.80)(4.4,2.5)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=26cm,height=26cm]{amitemps.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-5.00cm}
       \caption{!!!!}
       \label{fig9}
  \end{figure}
%--------------------------------------------------
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(19,17)(0,0)
       \put(-6.3,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=30cm,height=25cm]{correct1.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-8.7cm}
       \caption{!!}
       \label{fig7}
  \end{figure}
%%====================================================================
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(28,17)(6.5,0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=30cm,height=26cm]{correct2.pdf}}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \vspace{-7.5cm}
       \caption{!!!!}
       \label{fig8}
  \end{figure}
%================================================================

Le filtre de Kalman \'{e}tendu a donn\'{e} de tr\'{e}s bons r\'{e}sultats pour l'estimation des variable d'\'{e}tat cach\'{e}s de bior\'{e}cteur mais avec des faibles intensit\'{e}s de bruit d'\'{e}tat et d'observation en plus ce processu  représent\'{e} par (11) et (12) est considir\'{e} proche du cas d'un syst\`{e}me lin\'{e}aire gaussien; g\'{e}n\'{e}ralement cette technique souffre de robustesse.
%pour une am\'{e}lioration \`{a} ce probl\`{e}me, des techniques ont \'{e}t\'{e} d\'{e}velopp\'{e} comme le filtre de Kalman unscented (FKUn) et le filtre de Kalamn ensemble (FKEn) pour le filtrage des syt\`{e}mes non lin\'{e}aire gaussien.
La technique de filtrage particulaire a \'{e}t\'{e} introduite pour r\'{e}soudre le probl\`{e}me de filtrage des processus non lin\'{e}aire non gaussien.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{le filtre particulaire}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le filtrage particulaire a \'{e}t\'{e} d\'{e}velopp\'{e} \`{a} l'origine dans le domaine de la poursuite comme nous l'avons vu dans l'introduction. La technique de filtre particulaire est bas\'{e}e sur une m\'{e}thode de simulation s\'{e}quentielle, de type Monte Carlo.\\
 %qui date de la seconde guerre mondiale \`{o}u la n\'{e}cissit\'{e} de d\'{e}volopp\'{e} une technique pour simuler une chaine de r\'{e}ction nucl\'{e}aire. Cette m\'{e}thode tient son nom du c\'{e}l\`{e}bre quartier "Monte Carlo" de Mnaco; depuis, cette technique s'est g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e dans divers domaines comme physique, science \'{e}conomiques et derni\`{e}rement dans les bioproc\'{e}d\'{e}s.\\
 L'id\'{e}e est de repr\'{e}senter la distribution de probabilit\'{e} conditionnelle donn\'{e}e par $(16)$  de l'\'{e}tat cach\'{e} $X_t$ sachant les observations \ $Y_{1:k}=y_{1:k}$ \ jusqu'\`{a} l'instant $k$ \`{a} l'aide d'une approximation empirique \cite{Campillo}, qui a la forme suivante :
 \begin{align}
 \pi_{t_{k}}(x) & \simeq \pi^{N}_{t_{k}}(x)=\frac{1}{N}\,\sum^{N}_{i=1}\,\delta_{\xi^{i}_{t_{k}}}\,(x)
 \end{align}
 o\`{u} $(\xi^{1}_{t_{k}},...,\xi^{N}_{t_{k}})$ sont des particules, $\delta_{\xi^{i}_{t_{k}}}$ est la fonction de Dirac. le m\'{e}canisme est le m\^{e}me, on calcule \ $\pi^{N}_{t_{k}}(x)$ \ \`{a} partir de \ $\pi^{N}_{t_{k-1}}(x)$ \ avec :
 \begin{align}
 \pi_{t^{-}_{k}}(x) & \simeq \pi^{N}_{t^{-}_{k-1}}(x)=\frac{1}{N}\,\sum^{N}_{i=1}\,\delta_{\xi^{i}_{t^{-}_{k}}}\,(x)
 \end{align}

 \begin{itemize}
   \item \textbf{pr\'{e}diction :} appel\'{e} aussi mutation, entre deux observations $[t_{k-1},t_k)$, les particules explorent l'espace d'état suivant le mod\`{e}le priori voir l'Algorithme 3.
   \item \textbf{correction :}  d'apr\`{e}s l'algorithme 3, cette \'{e}tape peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}e en deux-sous \'{e}tapes telle que :
   \begin{itemize}
     \item \emph{pond\'{e}ration} : lorsqu'une observation est disponible, chaque particule est alors affect\'{e}e d'un poid proportionnel \`{a} la fonction de vraisemblance calcul\'{e}e.
     \item \emph{s\'{e}lection} : les particules sont élimin\'{e}es ou multipli\'{e}es en fonction de leur poids
   \end{itemize}

 \end{itemize}
%\newpage
%====================================================================
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
$\sharp$ \hspace{0.04cm} Initialisation

\hspace{1.1cm}$t \leftarrow 0$

\hspace{1.1cm}\textbf{for }$ i=1,....,N \, \textbf{do}$

\hspace{1.1cm}$x^{(i)}_0\sim p_{x_{0}}$ \hspace{1cm} $i=1,....,N$

\hspace{1.1cm}\textbf{return} $\,(t,x^{(i)}_0 \hspace{0.3cm}i=1,....,N)$

\hspace{1.1cm}\textbf{end for}

$\sharp$ \hspace{0.04cm} It\'{e}ration

\hspace{0.3cm} \textbf{for }$k=1,....,K$ \, \textbf{do}

%\hspace{0.7cm}\textbf{for }$ i=1,....,N \, \textbf{do}$

\hspace{0.7cm}1- Pr\'{e}diction

\hspace{0.8cm}\textbf{for }$ i=1,....,N \, \textbf{do}$

\hspace{1.1cm}$\xi^{(i)}_0 = x^{(i)}_{t_{k-1}}$

\hspace{1.1cm}$\textbf{for } i_f=1,....,N_f \, \textbf{do}$

\hspace{1.1cm}$\xi^{(i)}_{i_{f}} = \xi^{(i)}_{i_{f}-1}+f(\xi^{(i)}_{i_{f}-1}) \ \delta_f + g(\xi^{(i)}_{i_{f}-1}) \ \sqrt{\delta_f} \ N(0,I)$ \emph{\{mutation\}}

\hspace{1.1cm}\textbf{end for}

\hspace{1.1cm}$x^{(i)}_{t^-_{k}} = \xi^{(i)}_{i_{f}}$

\hspace{0.8cm}\textbf{end for}

\hspace{0.7cm}2- Correction

\hspace{0.8cm}\textbf{for }$ i=1,....,N \, \textbf{do}$

\hspace{1.1cm}$\omega^{(i)} = L(y_k\mid x^{(i)}_{t^-_{k}})$  \emph{\{pond\'{e}ration\}}

\hspace{0.8cm}\textbf{end for}

\hspace{0.8cm}\textbf{for }$ i=1,....,N \, \textbf{do}$

\hspace{1.1cm}$\omega^{(i)} \leftarrow \omega^{(i)} / \Sigma^N_{j=1} \omega^{(j)}$ \emph{\{normalisation\}}

\hspace{0.8cm}\textbf{end for}

\hspace{0.8cm}\textbf{for }$ i=1,....,N \, \textbf{do}$

\hspace{1.1cm}$x^{(i)}_{t_k} \sim \Sigma^N_{j=1} \omega^{(j)} \delta_{x^{(i)}_{t^-_{k}}}$ \emph{\{s\'{e}lection\}}

\hspace{1cm}\textbf{return} $\,(t_k,x^{(i)}_{t_{k}} \hspace{0.3cm}i=1,....,N)$

\hspace{0.8cm}\textbf{end for}

\hspace{0.3cm}\textbf{end for}

\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\put(1,-0.75){Algorithme 3:\emph{ Le filtre particulaire}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
%======================================================================

%\begin{algorithmic}
%\COMMENT{Initialisation}
%  \STATE {$t 0$}
%\WHILE{$T<T_{\textrm{\tiny max}}$}
%  \STATE $\tau \ot \lambda(n)+\mu(n)$
%  \STATE $s \sim\textrm{Exp}(\tau)$
%  \STATE $T \ot T+s$
%  \STATE $u \sim U[0,1]$
%  \IF{$u< \lambda(n)/\tau$}
%    \STATE $n\ot n+1$
%    \COMMENT{naissance d'un individu}
%  \ELSE
%    \STATE $n\ot n-1$
%    \COMMENT{mort d'un  individu}
%  \ENDIF
%\ENDWHILE
%\end{algorithmic}

%======================================================================
%%%====================================================================
%\begin{figure}[htbp]
%       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
%       \begin{center}
%       \begin{picture}(15,7)(0,0)%(6.4,11.0)
%       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=16cm,height=16cm]{echant.pdf}}}
%       \put(13,6.7){1- pr\'{e}diction}
%       \put(13,4.7){2- correction}
%       \put(-1,6.7){$p_{x_{k}}$}
%       \end{picture}
%       \end{center}
%      % \vspace{0cm}
%       \caption{!!!!}
%       \label{fig8}
%  \end{figure}
%================================================================

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{FKE}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%G\'{e}n\'{e}ralement les syst\`{e}me qui existent dans la nature sont des syst\`{e}mes non lin\'{e}aire pour ce la il faut les lin\'{e}ariser (une approximation) pour avoir l'application de la th\'{e}orie de filtre lin\'{e}aire \emph{(Filtre de Kalman Etendu)} .
%
%On va traiter dans notre cas un syst\`{e}me non lin\'{e}aire et continu dans le temps et avec une mesure lin\'{e}aire discr\`{e}te  .
%

%\subsection{Algorithme de FKE}
%Le filtre de Kalman \'{e}tendu pour le syst\`{e}me non lin\'{e}aire () et () peut \^{e}tre donn\'{e} par l'algorithme suivant :
%
%\emph{\textbf{initialisation}}
%\begin{align}
%\label{eq.j}
%  %E[W(t) V_{K}^T] &= 0 \,,&
%  %x_0 &\sim N(\hat{x_{0}},R_{0})\,,&
%   %\quad\mbox{avec $\hat{x_0}\leftarrow m_0$ et $R_0\leftarrow P_0$ }
%   \hat{x}_0\leftarrow m_0
%   \\
%\label{eq.jkk}
%   R_0\leftarrow P_0
%\end{align}
%%\begin{eqnarray}                                                                                       %\label{eq25}
%%\left\{
%%\begin{array}{lll}
%%                 \dot{S}    &=& \displaystyle %D(S_{in}-S)-\mu_{11}(S)V_1-\mu_{12}(S)W_1-\mu_2(S)X_2\\
%%   \varepsilon \dot{V}_1  &=& \displaystyle \varepsilon %\mu_{11}(S)V_1-AV_1^2+BW_1-\varepsilon D V_1\\
%%  \varepsilon \dot{W}_1  &=&  \displaystyle \varepsilon %\mu_{12}(S)W_1+AV_1^2-BW_1-\varepsilon D W_1\\
%%                  \dot{X}_2  &=&  \mu_2(S)X_2-DX_2.
%%\end{array}
%%\right.
%%\end{eqnarray}
%
%\emph{\textbf{pr\'{e}diction}}          $t \epsilon [t_{k-1},t_k]$
%\begin{align}
%\label{eq.ff}
%  \dot{\hat{X_t}}^- &= f(\hat{X_t}^-)\,,&
%  \quad\mbox{avec}\,&&
%  \hat{X}_{t_{k-1}}^- &= \hat{X}_{t_{k-1}}
%\\
%\label{eq.d}
% \dot{R_t} &=F(\hat{X_t}^-)\,R_{t}+R_t\,F^T(\hat{X_t})+g(\hat{X_t}^-)\,g^T(\hat{X_t}^-)\,,&
% \quad\mbox{  }\,&&
% \hat{R}_{t_{k-1}}^- &= \hat{R}_{t_{k-1}}
%\end{align}
%\emph{\textbf{correction}}
%\begin{align}
%\label{eq.dcc}
%  K_{t_{k}} &= R_{t_{k}}^-\,H^T\,[H\,R_{t_{k}}^-\,H^T+\Sigma(\hat{X}_{t_{k}}^-)\,\Sigma(\hat{X}_{t_{k}}^-)^T]^{-1}
%  \\
%\label{eq.fc}
%  \hat{X}_{t_{k}} &= \hat{X}_{t_{k}}^- + K_{t_{k}}\,(Y_{k}-H\,\hat{X}_{t_{k}}^-)
%\\
%\label{eq.dc}
%  R_{t_{k}} &= (I-K_{t_{k}}\,H_{t_{k}})\,R_{t_{k}}^-
%  %H^T_{t_{k}}(\hat{X}^T_{t_{k}}^-)
%\end{align}
%\subsection{Interpr\'{e}tation des r\'{e}sultats}
%
%les différents régimes permanents du système sont obtenu on calculant ce qu'on appele les points des équilibres, alors le sytème AM2 devient :
%
%\begin{align}
%\label{eq.S1}
%   0 &= D\,(S_{1in}-S_1)-k_1\,\mu_1(S_1)\,B_1
%\\
%\label{eq.X1}
%   0 &= [\mu_1(S_1)-\alpha\,D]\,B_1
%\\
%\label{eq.S2}
%   0 &= D\,(S_{2in}-S_2)+k_2\,\mu_1(S_1)\,B_1 - k_3 \,\mu_2(S_2)\,B_2
%\\
%\label{eq.X2}
%   0 &= [\mu_2(S_2)-\alpha\,D]\,B_2
%\end{align}
%
%on voit que :
%
%\begin{align}
%\label{eq.111}
%  (40) &= 0 \Longrightarrow B_1 = 0\, ou \, \mu_1\,(S_1) = \alpha\,D
%\\
%\label{eq.22}
%  (42) &= 0 \Longrightarrow B_2 = 0\, ou \, \mu_{2}\,(S_2) = \alpha\,D
%\end{align}
%
%les cas $(B_1=0)$ ou $(B_2=0)$ sont le lessivage des biomasses acidog\`{e}ne $B_1$ et m\'{e}thanog\`{e}ne $B_2$ et le cas de deux au meme temps c'est le lessivage total du bior\'{e}acteur (le manque de substrat limitant ou de surcharge organique).
%
%Nous d\'{e}finissons la quantit\'{e} :
%\begin{align}
%\label{eq.3}
%  S_{2in}^*\,(D) &= S_{2in} + \frac{k_{2}}{k_{1}}\,(S_{1in}-\lambda_{1}\,(D))
%\end{align}
%
%C'est la concentration totale des AGV disponible dans le bior\'{e}acteur pour la r\'{e}action de m\'{e}thanog\'{e}n\`{e}se. Elle est \'{e}gale à la somme de concentration d'entrée $S_{2in}$ et la concentration produit par la r\'{e}action d'acidog\'{e}n\`{e}se en r\'{e}gime permanent.

%\begin{figure}[htbp]
%\setlength{\unitlength}{1.0cm}
%\begin{center}
%\begin{picture}(9,2)(0,0)
%\put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=8cm,height=4cm]{fig1.pdf}}}
%%\put(-3.8,5.7){{\scriptsize $X_1$}}
%%\put(1.2,2.55){{\scriptsize $S$}}
%\end{picture}
%\end{center}
%%\caption{Plan de phase $(S,X_1)$: Figure à droite et à gauche : Bistabilité. Au milieu : Stabilité globale.} \label{fig4}
%\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%111%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%---------------------------------------------------------------------------
%\subsubsection{Une sous-sous-section}
%%---------------------------------------------------------------------------
%
%
%\paragraph{Recommandations}
%\begin{itemize}
%\item Il faut écrire un source \LaTeX\ clair et aéré (voir source).
%\item Il faut utiliser bibtex, par exemple \cite{law2003a}, il faut éditer le fichier \verb+lib/bibliographie.bib+ proprement. Par exemple \cite{law2003a} est propre et \cite{law2003b} ne l'est pas, ainsi que \cite{droesbeke2006b}. Ici j'utilise le style \verb+plainnat-fr+ mais on peut utiliser l'équivalent anglais \verb+plainnat-fr+ ou d'autres.
%\end{itemize}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Introduction et des d\'{e}finitions }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Consid\'{e}rons un syst\`{e}me dynamique de bioproc\'{e}d\'{e} r\'{e}git une \'{e}volution stochastique des \'{e}tats  inconnus au cours de temps.  La difficult\'{e} majeure de ces proc\'{e}d\'{e}s est l'absence quasi  syst\'{e}matique de capteur permettant aux mesures n\'{e}cessaires pour connaitre le fonctionnement interne de ce proc\'{e}d\'{e} biologique, les \'{e}tats appel\'{e}s inconnus peuvent repr\'{e}senter par exemple les concentrations en biomasses, en substrats et en produits. L'observation disponible dispose des mesures partielles et indirectes contamin\'{e}es d'erreur. Le filtrage consiste à restituer  une estimation de ces \'{e}tats \`{a} chaque instant à partir des mesures pr\'{e}lev\'{e}es.  Pour des raisons de performance de calcule les filtres r\'{e}cursifs sont pr\'{e}f\'{e}r\'{e}s, l'estimation de tel \'{e}tat \`{a} l'instant courant  ne d\'{e}pend que de l'observation courante et de l'\'{e}tat estim\'{e} \'{a} l'instant pr\'{e}c\'{e}dent.

\newpage

\appendix
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Annexes}
\addcontentsline{toc}{section}{Annexes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{La distribution gaussienne conditionnelle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Proposition A.1} Consid\'{e}rons un vecteur al\'{e}atoire gaussien $Z=(X \hspace{0.25cm}Y)^*$ qui prend ses valeurs dans $\mathbb{R}^{n+d}$ de moyenne $\bar{Z}$ et de covariance $Q_Z$ qui se  d\'{e}composent de la fa\c{c}on  suivante:
\begin{align*}
 \bar{Z}
   &=
\begin{pmatrix}
      \bar{X} \\ \bar{Y}
\end{pmatrix}
&
   H
   &=
\begin{pmatrix}
    Q_X & Q_{XY} \\ Q^*_{XY} & Q_Y
\end{pmatrix}
\end{align*}
o\`{u} on suppose que $Q_Y>0$ alors  la densit\'{e}  de probabilit\'{e} conditionnelle  $p_{X\mid Y=y}(x)$ pour $X$ sachant $Y=y$ est Gaussien $N(\hat{X}(y),R)$ avec :
\begin{align*}
%\label{eq.q}
\hat{X}(Y)&=\bar{X}+Q_{XY}Q^{-1}_Y(Y-\bar{Y})\,,&
R&=Q_X-Q_{XY}\,Q^{-1}_Y\,Q^*_{XY}
\end{align*}
\textbf{Preuve}\hspace{0.5cm} Supposant que $Q_Z>0$, donc
\begin{align*}
\label{eq.ff}
   p_{X\mid Y=y}(x)&=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{(2\,\pi)^{n+d}\,det\,Q_Z}}\exp\{
   -\frac{1}{2}\,(z-\bar{Z})^*\,Q^{-1}\,(z-\bar{Z})\}}{
   \frac{1}{\sqrt{(2\,\pi)^d\,det\,Q_Y}}\exp\{-\frac{1}{2}\,(y-\bar{Y})^*\,Q^{-1}\,(y-\bar{Y})\}}
\end{align*}
pour $z=(x \hspace{0.25cm}y)^*$, on aura:
 \begin{align*}
\begin{pmatrix}
      I & -Q_{XY}\,Q^{-1}_Y \\ 0 & I
\end{pmatrix}
\,
  Q_Z
\begin{pmatrix}
    I & 0 \\-Q^{-1}_Y\,Q^*_{XY} & I
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
    Q_X\,-Q_{XY}\,Q^{-1}_Y\,Q_{YX} & 0\\0 & Q_Y
\end{pmatrix}
\end{align*}
de sort que $1\times \det\,Q_Z \times 1 = \det\,R \times \,\det\, Q_Y$, alors:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
    I & 0 \\-Q^{-1}_Y\,Q^*_{XY} & I
\end{pmatrix}
^{-1}
\,
  Q^{-1}_Z
\begin{pmatrix}
      I & -Q_{XY}\,Q^{-1}_Y \\ 0 & I
\end{pmatrix}
^{-1}
 =
\begin{pmatrix}
    R{-1} & 0\\0 & Q^{-1}_Y
\end{pmatrix}
\end{align*}
c'est-\`{a}-dire
\begin{align*}
Q^{-1}_Z
&=
\begin{pmatrix}
I & 0 \\-Q^{-1}_Y\,Q^*_{XY} & I
\end{pmatrix}
\,
\begin{pmatrix}
    R{-1} & 0\\0 & Q^{-1}_Y
\end{pmatrix}
\,
\begin{pmatrix}
      I & -Q_{XY}\,Q^{-1}_Y \\ 0 & I
\end{pmatrix}
\end{align*}
donc
\begin{align*}
(z-\bar{Z})^*\,Q^{-1}_Z\,(z-\bar{Z})&=(x-\hat{X}(y))^*\,R^{-1}\,(x-\hat{X}(y))+(y-\bar{Y})^*\,Q^{-1}_Y\,(y-\bar{Y})
\end{align*}
et
\begin{align*}
%\label{eq.ff}
   p_{X\mid Y=y}(x)&=
   \frac{1}{\sqrt{(2\,\pi)^n\,det\,R}}\exp\{
   -\frac{1}{2}\,(x-\hat{X}(y))^*\,R^{-1}\,(x-\hat{X}(y))\}
\end{align*}
Si $Q_Z$ est non r\'{e}guli\`{e}r, il est n\'{e}cessaire d'utiliser la fonction carat\'{e}ristique pour d\'{e}montrer le r\'{e}sultat
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{A propos de l'EDS}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le mouvement Brownien}
%Le mouvement brownien est une d\'{e}scription math\'{e}matique du mouvement al\'{e}atoire, il a \'{e}t\'{e} d\'{e}crit pour la premi\`{e}re de fois en $1827$ par le botaniste Robert Brown. Ce  mouvement porte des déscriptions cités par la suite.
\subsubsection{Description unidimensionnelle}
\paragraph{En dimension 1}

$(W_t)_{t\geq0}$ est un processus stochastique tel que:
\vspace{0.5cm}\begin{itemize}
  \item
  $\forall\hspace{0.2cm} n ,\hspace{0.2cm}\forall\hspace{0.2cm} 0\leq t_0\leq t_1 \leq t_2........\leq t_n$; les variables al\'{e}atoires \hspace{0.2cm} $W_{t_{1}}-W_{t_{0}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},........,W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}$
   sont ind\'{e}pendantes
  %\begin{align*}
%  \forall n\,,
%  \forall 0\leq t_0\leq t_1 \leq t_2........\leq t_n
%  \end{align*}

  \item$\forall\hspace{0.2cm}(t,s)$ tel que \hspace{0.2cm}$t>s$,\hspace{0.2cm}$W_t-W_s$ est une gaussienne de moyenne nulle et de variance\hspace{0.2cm} $t-s$
  \begin{align*}
    W_t-W_s &\sim N(0,t-s)\,,&
   \forall t\geq s\,,
    W_0=0
   \end{align*}
   %donc $\forall n$
%   \begin{align*}
%    W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}} &\sim N(0,t_n-t_{n-1})
%   \end{align*}
\end{itemize}
\textbf{\emph{Comment simuler le trajectoire de ce mouvement $W_t$?}}

\vspace{0.4cm}Les variables al\'{e}atoires \hspace{0.2cm} $W_{t_{0}},W_{t_{1}},......,W_{t_{n}},$ sont donn\'{e}es de la fa\c{c}on suivante:
\begin{align*}
W_{t_{n}}&=\Sigma^n_{i=1}\,\xi_i\,,&
\xi_i&=W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}
\end{align*}
ls variables al\'{e}atoires $\xi_i$ sont $(iid)$ avec \hspace{0.2cm}$\mathbb{E}(\xi_i)=0$\hspace{0.1cm} et\hspace{0.1cm} $var(\xi_i)=\delta$, pour chaque pas de simulation \hspace{0.1cm}$\delta$, avec \hspace{0.1cm}$t_k=k\,\delta$, on donne l'algorithme suivant:


\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
$\sharp$ \hspace{0.04cm} \textbf{initialisation}

$W\leftarrow 0$

$t\leftarrow 0$

\textbf{return} $(t,W)$

\textbf{for} $i=1,...,n$ \textbf{do}

\hspace{0.5cm} $t\leftarrow t+\delta$

\hspace{0.5cm} $\xi \sim N(0,\delta)$

\hspace{0.5cm} $W\leftarrow W+\xi$

\hspace{0.5cm}\textbf{return} $(t,W)$

\textbf{end for}

\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\put(1,-1){Algorithme 1:\emph{ Simulation de mouvement brownien.}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(8,3)(0,1)
       \put(-0.5,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=12cm,height=10cm]{brownien.pdf}}}
       \put(0,1.8){{\scriptsize $W_{t_{0}}$}}
       \put(1.7,2.5){{\scriptsize $W_{t_{1}}$}}
       \put(1.3,2.3){{\scriptsize $\xi_1$}}
        \put(2,1){{\scriptsize $\sigma$}}
        \put(3.5,1){{\scriptsize $2\,\sigma$}}
        \put(5.2,1){{\scriptsize $3\,\sigma$}}
        \put(6.9,1){{\scriptsize $4\,\sigma$}}
        \put(3.4,3){{\scriptsize $W_{t_{2}}$}}
        \put(4.7,2.6){{\scriptsize $\xi_2$}}
        \put(6.5,1.9){{\scriptsize $\xi_3$}}
        \put(5.2,0.2){{\scriptsize $W_{t_{3}}$}}
        \put(8.1,0.8){{\scriptsize $\xi_4$}}
        \put(7.5,1.8){{\scriptsize $W_{t_{4}}$}}
       \end{picture}
       \end{center}
        \vspace{1cm}
       \caption{\emph{Simulation de mouvement brownien}}
  \end{figure}
  %_____________________________
\paragraph{En dimension $n$}
%______________________________
\begin{align*}
W_t &=(W^1_t,W^2_t,W^3_t,........,W^n_t)^*
\end{align*}
o\`{u} les $W^i_t$ sont des mouvements browniens ind\'{e}pendants
\begin{itemize}
  \item $(W_t)$ est un processus stochastique gaussien \`{a} croissements ind\'{e}pendants
  \item $ \forall\hspace{0.2cm}(t,s)$ tel que \hspace{0.2cm}$t>s$,\hspace{0.2cm}$W_t-W_s$ est un vecteur gaussien de moyenne nulle et de covariance\hspace{0.2cm} $(t-s)I$
  \begin{align*}
    W_t-W_s &\sim N(0,(t-s)\,I)\,,&
   \forall t\geq s\,,
    W_0=0
   \end{align*}
\end{itemize}
%========================
\subsection{L'EDS}
%==================
\begin{align*}
%\label{eq.133}
  d{X}_{t} &= f(X_t)\,dt + g(X_t)\,dW_{t}\,,&
      t\in [0,T]\,,&&
      X_0 \sim\nu
\end{align*}
avec $(W_t)_{t\geq 0}$ est mouvement brownien; cette \'{e}quation a une signification  suivante:
\begin{align*}
%\label{eq.133}
  X_t &= X_0 + \int^t_0 f(X_s)\,ds +\int^t_0 g(X_s)\,dW_s
\end{align*}
la solution $(X_t)$ est compos\'{e}e d'une int\'{e}grale classique de Lebesgue et d'une autre int\'{e}gral stochastique appel\'{e}e int\'{e}grale d'It\^{o}.
%La r\'{e}solution num\'{e}rique de cette sulution est difficle, donc il faut adopter une méthode plus simple pour arriver approximativent \`{a} la vrais solution $(X_t)$ donc
 Pour comprendre cette EDS, on \'{e}crit le sh\'{e}ma d'Euler Maruyama suivant:
\begin{align*}
%\label{eq.133}
  X_{t+\delta} &= X_t + f(X_t)\delta + g(X_t)\,(W_{t+\delta}-W_t)\,,&
  (W_{t+\delta}-W_t)\sim N(0,\delta\,I)
\end{align*}
\textbf{Hypoth\`{e}se :}
\begin{itemize}
  \item $X_0$ et $(W_t)_{t\geq 0}$ sont sont ind\'{e}pendants, cela revient \`{a} supposer que $\forall\hspace{0.2cm} n ,\hspace{0.2cm}\forall\hspace{0.2cm} 0 = t_0\leq t_1 \leq t_2....\leq t_n$; les variables al\'{e}atoires \hspace{0.2cm} $ X_0,W_{t_{1}}-W_{t_{0}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},........,W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}$
   sont ind\'{e}pendantes
  \item
   \begin{align*}
    W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}} &\sim N(0,t_n-t_{n-1})\,,&
   \forall n \in\mathbb{N}
   \end{align*}
   \item la loi $(X_0)$ admet une densit\'{e}\hspace{0.2cm}$P_{X_{0}}$
\end{itemize}
\`{A} partir de cette hypoth\`{e}se on peut avoir l'algorithme du simulation suivant:
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
$\sharp$ \hspace{0.04cm} \textbf{initialisation}

$t\leftarrow 0$

$X\sim P_{X_{0}}$

\textbf{return} $(t,X)$

\textbf{for} $i=1,...,k$ \textbf{do}

\hspace{0.5cm} $t\leftarrow t+\delta$

\hspace{0.5cm} $\xi \sim N(0,\delta\,I)$

\hspace{0.5cm} $X\leftarrow X+\delta\,f(X)+g(X)\,\xi$

\hspace{0.5cm}\textbf{return} $(t,X)$

%\textbf{end for}
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\put(2,-0.8){Algorithme 2: \emph{simulation de l'EDS}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

\emph{\textbf{Rappel:}}
\begin{align*}
 Y&=\alpha + \Sigma\,X \,,&
 X\sim N(\mu,R)
\end{align*}
alors
\begin{align*}
 Y&\sim N(\alpha +\mu, \Sigma\,R\,\Sigma^*)
\end{align*}
\`{A} partir du sh\'{e}ma d'Euler-Maruyama, la densit\'{e} conditionnelle de $X_{t+\delta}$ sachant $X_t=x$ suit une loi gaussienne \hspace{0.2cm}$X_{t+\delta}\sim N(x+\delta f(x),\delta \,g(x)\,g(x)^*)$

\vspace{0.9cm}\emph{\textbf{preuve:}}

le sh\'{e}ma d'Euler-Maruyama devient:
\begin{align*}
%\label{eq.133}
  X_{t+\delta} &= x + f(x)\delta + g(x)\,(W_{t+\delta}-W_t)\,,&
  (W_{t+\delta}-W_t)\sim N(0,\delta\,I)
\end{align*}
alors
\begin{align*}
   p_{X_{t+\delta}\mid X_t=x}(x') \sim N(x+\delta f(x),\delta \,g(x)\,g^*(x))
\end{align*}
\vspace{1cm}cela peut \^{e}tre expliquer par le sh\'{e}ma suivant:

Partant de $x$ \`{a} l'instant $t$, donc en moyenne

 on sera au point $x+f(x)\,\delta$ avec

 une covarience $\delta\,g(x)\,g(x)^*$ \`{a} l'instanta $t+\delta$

 \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(2,3)(0,0)
       \put(-0.5,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=12cm,height=10cm]{trejec.pdf}}}
       \put(2.1,0){x}
       \put(2.0,3.3){$x+\delta\,f(x)$}
       \put(6.5,2.8){$\delta\,g(x)\,g(x)^*$}
       \end{picture}
       \caption{Le diffus en couleur rouge-La dirrive en couleur noir } \label{fig10}
       \end{center}
  \end{figure}
 Remarque:

 La moyenne $m_t=\mathbb{E}\,X_t$ n'est pas solution de l'EDO $(\dot{m}_t=f(m_t))$

 \emph{\textbf{Preuve:}}

 \begin{align*}
%\label{eq.133}
  \mathbb{E}X_{t+\delta} &=\mathbb{E}\,X_t + \delta\,\mathbb{E} f(x)+\mathbb{E} (g(x)\,(W_{t+\delta}-W_t))
  \\
  \mathbb{E}X_{t+\delta} &=\mathbb{E}\,X_t + \delta\,\mathbb{E} f(x)+\mathbb{E}g(x)\,\mathbb{E}(W_{t+\delta}-W_t))\,,&
  \mathbb{E}(W_{t+\delta}-W_t))&=0
  \\
  \mathbb{E}X_{t+\delta} &=\mathbb{E}\,X_t + \delta\,\mathbb{E} f(x)
\end{align*}
avec
\begin{align*}
\mathbb{E} f(X_t)\neq f(\mathbb{E} X_t)
\end{align*}
mais on peut dire qu'en infinitesiment $X_t$ suit en moyenne l'EDO pour des petits pas de temps $\delta$
\begin{align*}
\mathbb{E}(X_{t+\delta}|X_t=x)&=x+\delta\,f(x)
\end{align*}
et admet comme covariance
\begin{align*}
cov(X_{t+\delta}|X_t=x)&=\delta\,g(x)\,g^*(x)
\end{align*}
on va noter \ $\Pi_t(x)=p_{X_{t}}(x)$ \ une densit\'{e} gaussienne \ $\Pi_t(x)\sim N(m(t),P(t))$. G\'{e}n\'{e}ralement on ne peut pas calculer cette densit\'{e} \ $\Pi_t(x)$ \ mais dans le cas gaussien lin\'{e}aire cette densit\'{e} est bien d\'{e}termin\'{e}e:

\vspace{0.6cm}dans le cas lin\'{e}aire; l'EDS peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}e sous la forme suivante
\begin{align*}
%\label{eq.133}
  d{X}_{t} &= F\,X_t\,dt + G\,dW_{t}\,,&
      t\in [0,T]\,,&&
      X_0 \sim N(\mu,Q)
\end{align*}
pour \hspace{0.16cm}$t_k=\delta\,k$, le sh\'{e}ma d'Euler Maruyama est donn\'{e} par:
\begin{align*}
%\label{eq.133}
  X_{t_{k}} &= X_{t_{k-1}}+\delta\,F\,X_{t_{k-1}} + G\,(W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})\,,&
  (W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})\sim N(0,\delta\,I)
\end{align*}
pour un pas de temps $\delta$ tr\'{e}s petit on a:
\begin{itemize}
  \item La moyenne
  \begin{align*}
  m(t)&=\mathbb{E}X_{t_{k}}=\mathbb{E}\,X_{t_{k-1}} + \delta\,F\, \mathbb{E}X_{t_{k-1}}+G\,\mathbb{E}(W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})
  \\
  m(t)&=\mathbb{E}\,X_{t_{k-1}} + \delta\,F\, \mathbb{E}X_{t_{k-1}}\,,&
  \mathbb{E}(W_{t_{k}}-W_{t_{k-1}})&=0
  \\
  \dot{m}(t)&=F\,m(t)\,,&
  m(0)&=m_0
\end{align*}

  \item la covariance
  \begin{align*}
  cov(X_{t_{k}})&=\mathbb{E}((X_{t_{k}}-\mathbb{E}X_{t_{k}})\,(X_{t_{k}}-\mathbb{E}X_{t_{k}})^*)
  \\
  cov(X_{t_{k}})&=\mathbb{E}(X_{t_{k}}\,X^*_{t_{k}})-\mathbb{E}X_{t_{k}}\,\mathbb{E}X^*_{t_{k}}
\end{align*}
alors
\begin{align*}
\dot{P}(t)&= F\,P(t)+P(t)\,F^*+G\,G^*\,,&
P(0)&=P_0
\end{align*}
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Filtre de Kalman}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On consid\`{e}re un probl\`{e}me de filtre de Kalman avec un syst\`{e}me d'\'{e}tat \'{e}voluant dans le temps continue et des observations discr\'{e}tes:
\begin{align}
  d{X}_{t} &= F(t)\,X_t\,dt + G(t)\,dW_{t}\,,&
      t\epsilon [0,T]\,,&&
      X_0 \sim N(m_0,P_0)
      \\
      Y_k &= H(t) + \Sigma(k)\,V_k\,,&
      t_k&=k\,\delta\,,&
      k&=1,..,N_{obs}
\end{align}
avec la m\^{e}me hypoth\`{e}se et les m\^{e}mes dimensions, le processus $X_t$ est gaussien avec $X_t\sim N(m(t),P(t))$ donn\'{e} par :
\begin{align}
\dot{m}(t)&=F\,m(t)\,,&
  m(0)&=m_0
  \\
\dot{P}(t)&= F\,P(t)+P(t)\,F^*+G\,G^*\,,&
P(0)&=P_0
\end{align}
\begin{itemize}
  \item \textbf{\emph{La pr\'{e}diction :}} pour tout $t\in (t_{k-1},t_k]$

  la distribution conditionnelle de $X_t$ sachant les observations $Y_{1:k-1}=y_{1:k-1}$ est donn\'{e}e par \ $\pi^{-}_t$ \ tel que:
  \begin{align*}
  \pi^{-}_t &= N(\hat{X}^{-}_t,R^-(t))
  \end{align*}
  avec
\begin{align*}
\hat{X}^-_t&=\mathbb{E}(X_t|Y_{1:k-1}=y_{1:k-1})\,,&
R^-(t)&=\mathbb{E}[(X_t-\hat{X}^-_t)(X_t-\hat{X}^-_t)^*]
\end{align*}
  \item \textbf{\emph{La correction :}} à $t=t_k$

 la distribution conditionnelle de $X_t$ sachant les observations $Y_{1:k}=y_{1:k}$ est donn\'{e} par $\pi_{t_{k}}$ tel que:
  \begin{align*}
  \pi_{t_{k}} &= N(\hat{X}_{t_{k}},R(t_k))
  \end{align*}
  avec
\begin{align*}
\hat{X}_{t_{k}}&=\mathbb{E}(X_{t_{k}}|Y_{1:k}=y_{1:k})\,,&
R(t_k)&=\mathbb{E}[(X_{t_{k}}-\hat{X}^-_{t_{k}})(X_{t_{k}}-\hat{X}^-_{t_{k}})^*]
\end{align*}

\end{itemize}
Le calcul de ces densit\'{e}s  est donn\'{e} par le filtre de Kalman voir l'Algorithme 3 :
 \ $\pi_t$ \ est d\'{e}termin\'{e} \`{a} partir des \'{e}quations \ (26) \ et \ (27) \ cependant  on appliquant la formule classique d'estimation bay\'{e}ssienne  pour une distribution conditionnelle au processus \ $X_t$ \ pour calculer \ $\pi_{t_{k}}$.

 Dans l'Agorithme 3. la matrice de covariance $R(t_k)$ pour l'étape de correction est donnée par :
  \begin{align*}
  R(t_k)&=(I-K_k\,H_k)\,R^{-}(t_k)
  \end{align*}
  pour le calcule num\'{e}rique il est préf\'{e}rable d'utiliser la formule suivante :
  \begin{align*}
  R(t_k)&=(I-K_k\,H_k)\,R^{-}(t_k)\,(I-K_k\,H_k)^*+K_k\,\Sigma\,\Sigma^*K_k^*
  \end{align*}
  Le calcul de la matrice de covariance par cette formule nous permet de garantir :
  \begin{itemize}
    \item l'insensibilit\'{e} aux erreurs de gain de filtre
    \item que la matrice de covariance est sym\'{e}trique d\'{e}finie positive.
  \end{itemize}
  \emph{}
 %====================================================================
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

$\sharp$ \hspace{0.04cm} initialisation

$\hat{X}_0\leftarrow m_0),R_0\leftarrow P_0$

\textbf{return} $\,(0,\hat{X},R)$

\textbf{for }$ k=1...N_{obs}\, \textbf{do}$

\hspace{0.5cm}$\sharp$ \hspace{0.04cm} pr\'{e}diction : r\'{e}solution de syst\`{e}me suivant pour $t\in [t_{k-1},t_k]$
\begin{align*}
%\label{eq.ff}
  \dot{\hat{X_t}}^- &= F\,\hat{X_t}^-\,,&
  \quad\mbox{avec}\,&&
  \hat{X}_{t_{k-1}}^- &= \hat{X}_{t_{k-1}}
\\
%\label{eq.d}
 \dot{R}(t) &=F\,R(t)+R(t)\,F^*+G\,G^*\,,&
 \quad\mbox{  }\,&&
 R^-(t_{k-1}) &= R(t_{k-1})
\end{align*}
\hspace{1.1cm}$\sharp$ \hspace{0.04cm} correction : \`{a} l'instant $t_k$, une nouvelle observation disponible $y_k$

\hspace{0.5cm}$\Sigma\leftarrow\Sigma(\hat{X^-_{t_{k}}})$

\hspace{0.5cm}$K_k\leftarrow R^-(t_k)\,H^{*}_k\,[H_k\,R^-(t_k)\,H^{*}_k+\Sigma\,\Sigma^*]^{-1}$

\hspace{0.5cm}$\hat{X}_{t_{k}}\leftarrow \hat{X}^-_{t_{k}} + K_k\,(Y_{k}-H_k\,\hat{X}^-_{t_{k}})$

\hspace{0.5cm}$R(t_k)\leftarrow(I-K_k\,H_k)\,R^{-}(t_k)\,(I-K_k\,H_k)^* + K_k\,\Sigma\,\Sigma^*K^{*}_k$

\hspace{0.5cm}\textbf{return} $(k\,\Delta,\hat{X},R)$

\textbf{end for}
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\put(1,-1){Algorithme 3:\emph{ Le filtre de Kalman continue/discret}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Filtre de Kalman \'{E}tendu}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On consid\`{e}re le filtre non-lin\'{e}aire avec l'\'{e}quation d'\'{e}tat qui \'{e}volue en temps continu  et les observations en temps discret :
\begin{align*}
%\label{eq.1}
  d{X}_{t} &= f(X_t)\,dt + g(X_t)\,dW_{t}\,,&
      t\epsilon [0,T]\,,&&
      X_0 \sim\nu
      \\
      Y_k &= h(X_{t_k}) + \Sigma(X_{t_k})\,V_k\,,&
      t_k&=k\,\delta\,,&
      k&=1,..,N_{obs}
\end{align*}
avec la m\^{e}me hypoth\`{e}se et les m\^{e}mes dimensions que dans (26) et (27). Dans le cas de filtre non lin\'{e}aire, la loi conditionele  $\pi_t$ n'est pas beaucoup gaussienne, le filtre de Kalman \'{e}tendu consiste \`{a} utiliser un d\'{e}veloppement de taylor pour lin\'{e}ariser les fonctions non lin\'{e}aire $f$, $g$, $h$ et $\Sigma$ autour de l'estimation courante de filtre.
\subsection{L'approximation de Taylor}
\subsubsection{L'EDS}
 On lin\'{e}arise autour d'une trajectoire nominale $\bar{x}(t)$, l'équation d'état prend la forme suivante:
\begin{align*}
d\tilde{X}&=dX_t-d\bar{x}(t)\,,&
\tilde{X}=X_t-\bar{x}(t)\,,
\dot{\bar{x}}(t)=f(\bar{x}(t))
\\
\quad &=[f(X_t)-f(\bar{x}(t))]\,dt+g(X_t)dW_t
\\
\quad &\simeq F(\bar{x}(t))\,(X_t-\bar{x}(t))\,dt+g(\bar{x}(t))dW_t\,,&
g(X_t)\simeq g(\bar{x}(t))
\end{align*}
o\`{u}
\begin{align*}
F(x)&=[\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}]
\end{align*}
à la fin on se retrouve devant une équation d'état  approximativement linéaire:
\begin{align}
d\tilde{X}_t &= F(\bar{x}(t))\,\tilde{X}_t + g(\bar{x}(t))dW_t
\end{align}
\subsubsection{L'équation d'observation}
En lin\'{e}arisant autour de m\^{e}me trajectoire nominale l'\'{e}quation d'observation peut se d\'{e}terminer de la façon suivante:
\begin{align*}
 \tilde{Y}_k &= h(X_{t_k})-h(\bar{x}(t_k)) + \Sigma(X_{t_k})\,V_k\,,&
 \tilde{Y}_k &= Y_k-h(\bar{x}(t_k))
 \\
 \quad &\simeq H(\bar{x}(t_k))\,(X_{t_{k}}-\bar{x}(t_k))+\Sigma(\bar{x}_{t_k})\,V_k
 \end{align*}
 avec
 \begin{align*}
H(x)&=[\frac{\partial h_i(x)}{\partial x_j}]
\end{align*}

on obtient de l'\'{e}quation linéaire de l'observation:
\begin{align}
\tilde{Y}_k &= H(\bar{x}(t_k))\,\tilde{X}_{t_{k}}+\Sigma(\bar{x}_{t_{k}})\,V_k
\end{align}
\begin{itemize}
  \item pour l'étape de pr\'{e}diction on va calculer $\pi_t = N(\hat{X}^{-}_t,R^{-}(t))$ pour $t\in (t_{k-1},t_k]$, à partir de l'équation (30) et  avec une trajectoire nominale $\bar{x} = \hat{X}^{-}_t$, o\`{u} l'état pr\'{e}dit  est donn\'{e} par :
\begin{align*}
%\label{eq.ff}
  \dot{\hat{X}}^-_t &= f(\hat{X}^{-}_t)
\\
%\label{eq.d}
 \dot{R}^{-}(t) &=F(\hat{X}^{-}_t)\,R^{-}_{t}+R^{-}_t\,F(\hat{X}^{-}_t)^{*}+g(\hat{X}^{-}_t)\,g(\hat{X}^{-}_t)^{*}
\end{align*}
  \item pour l'\'{e}tape de correction, $\pi_{t_{k}}= N(\hat{X}_{t_{k}},R(t_k))$ est d\'{e}termin\'{e} \`{a} partir de l'\'{e}quation d'observation (30) voir l'Agorithme 4.
 \begin{align*}
 \hat{X}_{t_{k}}&=\hat{X}^-_{t_{k}} + K_{t_{k}}\,\tilde{y}_k
 \\
 \hat{X}_{t_{k}}&=\hat{X}^-_{t_{k}} + K_{t_{k}}\,(y_{k}-h(\hat{X}^-_{t_{k}}))
 \end{align*}
\end{itemize}

%====================================================================
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,-1){\line(1,0){16}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{0.5cm}

 $\sharp$ \hspace{0.04cm} initialisation

$\hat{X}\leftarrow \mathbb{E}(X_0),R\leftarrow cov(X_0)$

\textbf{return} $\,(0,\hat{X},R)$

\textbf{for }$ k=1...N_{obs}\, \textbf{do}$

\hspace{0.5cm}$\sharp$ \hspace{0.04cm} pr\'{e}diction : r\'{e}solution de syst\`{e}me suivant pour $t\in [t_{k-1},t_k]$
\begin{align*}
%\label{eq.ff}
  \dot{\hat{X}}^-_t &= f(\hat{X}^{-}_t)\,,&
  \quad\mbox{avec}\,
  \hat{X}_{t_{k-1}}^- &= \hat{X}_{t_{k-1}}
\\
%\label{eq.d}
 \dot{R}^{-}(t) &=F(\hat{X}^{-}_t)\,R^{-}_{t}+R^{-}_t\,F(\hat{X}^{-}_t)^{*}+g(\hat{X}^{-}_t)\,g(\hat{X}^{-}_t)^{*}\,,&
 \quad\mbox{  }\,
 {R}^{-}(t_{k-1}) &= {R}(t_{k-1})
\end{align*}

\hspace{0.5cm}$\sharp$ \hspace{0.04cm} correction : \`{a} l'instant $t_k$, une nouvelle observation disponible $y_k$

\vspace{0.5cm}\hspace{1.1cm}$K_k = R_{t_{k}}^-\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}})^{*}\,[H(\hat{X}^{-}_{t_{k}})\,R^-\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}})^{*}+\Sigma (\hat{X}^{-}_{t_{k}})\,\Sigma (\hat{X}^{-}_{t_{k}})^{*}]^{-1}$

\hspace{1.1cm}$\hat{X}_{t_{k}}=\hat{X}^-_{t_{k}} + K_{t_{k}}\,(y_{k}-h(\hat{X}^-_{t_{k}}))$

\hspace{1.1cm}$R(t_k)=(I-K_k\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}}))\,R^{-}(t_k)\,(I-K_{t_{k}}\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}}))^* + K_k\,\Sigma(\hat{X}^{-}_{t_{k}})\,\Sigma(\hat{X}^{-}_{t_{k}})^*K^*$

%\begin{align*}
%K_k&= R_{t_{k}}^-\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}})^{*}\,[H(\hat{X}^{-}_{t_{k}})\,R^-\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}})^{*}+\Sigma (\hat{X}^{-}_{t_{k}})\,\Sigma (\hat{X}^{-}_{t_{k}})^{*}]^{-1}
%\\
%\hat{X}_{t_{k}}&=\hat{X}^-_{t_{k}} + K_{t_{k}}\,(y_{k}-h(\hat{X}^-_{t_{k}}))
%\\
%R(t_k)&=(I-K_k\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}}))\,R^{-}(t_k)\,(I-K_{t_{k}}\,H(\hat{X}^{-}_{t_{k}}))^* + K_k\,\Sigma(\hat{X}^{-}_{t_{k}})\,\Sigma(\hat{X}^{-}_{t_{k}})^*K^*
%\end{align*}
\hspace{1.1cm}\textbf{return} $(k\,\Delta,\hat{X},R)$

\textbf{end for}
\begin{figure}[htbp]
\setlength{\unitlength}{1.0cm}
\begin{center}
\begin{picture}(15,0)(0,0)
\put(-1,0){\line(1,0){16}}
\put(1,-1){Algorithme 4:\emph{ Le filtre de Kalman \'{e}tendu continue/discret}}
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{A propos des bioproc\'{e}d\'{e}s}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Le mode de fonctionnement}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Il existe trois modes de fonctionnement des bior\'{e}acteurs qui sont g\'{e}n\'{e}ralement caract\'{e}ris\'{e}s par le type d'alimentation du r\'{e}acteur.\\

\textbf{Mode batch :} c'est un processus ferm\'{e} qui se d\'{e}roule \`{a} volume constant et les \'{e}l\'{e}ments biologiques n\'{e}cessaires \`{a} la r\'{e}action sont introduits lors du d\'{e}marrage (voir Fig. \ref{fig10} à gauche) .
\begin{align*}
%\label{eq.m}
  V(0) &= V_{0} = V_{max}\,,&
  S(0) &= S_{in} = S_{0}\,,&
  Q_{in} &= Q_{out} =0
\end{align*}

\textbf{Mode Fed batch :}
Ce mode de fonctionnement permet essentiellement de lever le probl\`{e}me d'inhibition du micro-organisme associ\'{e} au mode  pr\'{e}c\'{e}dent \`{a} partir d'un volume initial pr\'{e}alablement ensemenc\'{e}; apr\`{e}s le r\'{e}acteur est aliment\'{e} par un d\'{e}bit contr\^{o}l\'{e} en boucle ferm\'{e} (voir Fig. \ref{fig10} au milieu) .
\begin{align*}
%\label{eq.m}
  V(0) &= V_{0} < V_{max}\,&
  S(0) &= S_{in} = S_0\,&
  Q_{in} &\neq 0 \quad\mbox{et}\,Q_{out} =0\,,&
  B(0) &=B_0\neq 0
\end{align*}

\textbf{Mode continu :} c'est ce qu'on l'appelle le chemostat  o\`{u} le retrouve g\'{e}n\'{e}ralement dans le domaine du traitement des eau us\'{e}es, il est soumis \`{a} un soutirage du milieu r\'{e}actionnel \'{e}gal au flux d'alimentation, en maintenant le volume r\'{e}actionnel constant (voir Fig. \ref{fig10}) \`{a} droite) .

\begin{align*}
%\label{eq.m}
  Q_{in} &= Q_{out}\,&
  V(0) &= V_{0} = V_{max}\,,&
  D &= \frac{Q_{in}}{V}
\end{align*}
D : le taux de dilution .
%\end{align*}
%      \begin{figure}[htbp]
%       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
%       \begin{center}
%       \begin{picture}(-6.5,0)(0,0)
%       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=8cm,height=6cm]{chemostat.pdf}}}
%       \put(0,2.2){ $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\bigotimes}$}
%       \put(1.5,0){ $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\bigotimes}$}
%       \end{picture}
%       \end{center}
%  \end{figure}

      \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(15.5,04.5)(0,0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=10cm]{chemostat.pdf}}}
       \put(0.2,3.7){ $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\bigotimes}$}
       \put(2.7,0){ $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\bigotimes}$}
       \put(1.5,0){(a)}
       \end{picture}
       \caption{Les trois modes de fonctionnement} \label{fig10}
       \end{center}

  \end{figure}
  \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(5,0)(0,-2)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=10cm]{chemostat.pdf}}}
       \put(2.7,0){ $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\bigotimes}$}
       \put(1.5,0){(b)}
       \end{picture}
       \end{center}
  \end{figure}
  \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(-6,-4)(0,-3.2)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=10cm]{chemostat.pdf}}}
       \put(1.5,0){(c)}
       \end{picture}
       \end{center}
  \end{figure}
\subsection{G\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s}
Le comportement dynamique des diff\'{e}rents composants de la r\'{e}action dans les basins des processus biologiques d\'{e}coule directement de l'expression des bilans de mati\`{e}re, pour bien comprendre le fonctionnemnt cons\'{e}dirant un simple sh\'{e}ma r\'{e}actionnel suivant:

\vspace{1cm}\hspace{7cm} $S \quad \xrightarrow[]{r}  \quad  B$


S: le substrat

B: micro-organisme (bact\'{e}rie)

r: vitesse de r\'{e}action $r(s)=\mu(s)\,b$

\vspace{0.5cm}La dynamique peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}e de la fa\c{c}on suivante :
\begin{align*}
%\label{eq.r1}
  \dot{\xi} &= [\xi_{in}-\xi_{out}]_{eq-physique}+[\xi_{product}-\xi_{consumed}]_{eq-biologique}
\end{align*}
La dynamique de substrat \ (S) \  et de biomasse \ (B) \ est donn\'{e} par les \'{e}quations suivantes:
\begin{align*}
%\label{eq.S}
 \dot{(SV)} &= Q_{in}\,S_{in}-Q_{out}\,S-r(S)\,V
\\
%\label{eq.X}
  \dot{(BV)} &= -Q_{out}\,B+r(S)\,V
\\
%\label{eq.v}
 \dot{V} &= Q_{in}-Q_{out}
\end{align*}
on remplace l'\'{e}quation (9) dans (7) et (8), la dynamique devient :
\begin{align*}
%\label{eq.S11}
  \dot{(S)}\,V+(Q_{in}-Q_{out})\,S &= Q_{in}\,S_{in}-Q_{out}\,S-r(S)\,V
\\
%\label{eq.X}
  \dot{(B)}\,V+(Q_{in}-Q_{out})\,B &= -Q_{out}\,B+r(S)\,V
\\
%\label{eq.v}
  \dot{V} &= Q_{in}-Q_{out}
\end{align*}

Finalement on trouve :
\begin{align*}
%\label{eq.S11}
  \dot{(S)} &= \frac{Q_{in}}{V}\,(S_{in}-S)-K\,r(S)\,V
\\
%\label{eq.X}
  \dot{(b)} &= (-\frac{Q_{in}}{V}+r(s))\,b
\\
%\label{eq.v}
  \dot{V} &= Q_{in}-Q_{out}
\end{align*}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Quelques rappels et d\'{e}finitions math\'{e}matiques}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Rappel 1 : Sh\'{e}ma d'Euler}
\begin{align}
\dot{x}&=f(x)\quad \equiv \quad \frac{dx(t)}{dt}=f(x(t))\,,&
t&\geq 0\,,&
x(0)&=x_0
\end{align}
Comment ça marche une telle \'{e}quation donn\'{e} sous cette forme ?
\begin{align*}
(18)\Rightarrow x(t)&=x_0 + \int^{t}_0 f(x(s))\,ds
\end{align*}
Comment r\'{e}soudre cette int\'{e}grale ?

$\int^{t}_0 f(x(s))\,ds$ \ est une mesure de l'air de la surface, pour bien comprendre cela, on va entamer un exemple plus simple \`{a} expliqu\'{e}.
L'int\'{e}grale donn\'{e}e pr\'{e}c\'{e}demment on peut \^{e}tre approch\'{e}e comme suite (voir Fig. \ref{figf1}) :
  \begin{align*}
  \int^{t}_0 f(x(s))&\simeq \sigma \,f(t_0)+\sigma \,f(t_1)+...+\sigma \,f(t_{n-1})\,,&
  \sigma&=t_k-t_{k-1}
  \end{align*}
  donc pour des petits pas de temps $(\sigma)$ l'integrale peut s'\'{e}crire sous la forme suivante :
   \begin{align*}
  \int^{t}_0 f(x(s)) &= \lim_{k\rightarrow\infty}\,\Sigma^{n-1}_{k=0}\,f(x(t_k))\,(t_{k+1}-t_k)
  \end{align*}
  \`{a} l'instant $t_n$
  %\begin{align*}
%  x(t_n) &= x_0 + \lim_{k\rightarrow\infty}\,\Sigma^{n-1}_{k=0}\,f(x(t_k))\,(t_{k+1}-t_k)
%  \\
%   &= x_0 + \lim_{k\rightarrow\infty}\,\Sigma^{n-2}_{k=0}\,f(x(t_k))\,(t_{k+1}-t_k)+f(x(t_{n-1}))\,(t_{n}-t_{n-1})
%   \\
%   &=x(t_{n-1})+f(x(t_{n-1}))\,\sigma \quad\mbox{(Sh\'{e}ma d'Euler)}
%  \end{align*}
  \begin{align*}
  x(t_n) &= x(t_{n-1})+f(x(t_{n-1}))\,\sigma \quad\mbox{(Sh\'{e}ma d'Euler)}
  \end{align*}
  \begin{figure}[htbp]
       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
       \begin{center}
       \begin{picture}(10,4)(0,0)
       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=10cm]{air.pdf}}}
       \put(0.2,0){${t_0}$}
       \put(1.9,0){${t_1}$}
       \put(3.2,0){${t_2}$}
       \put(4.5,0){${t_3}$}
       \put(10,0){${t}$}
       \put(0,4){{f(t)}}
       \end{picture}
       \end{center}
       \caption{Approximation l'air de la surface de la fonction $f(x(t))$} \label{figf1}
  \end{figure}
  %\begin{figure}[htbp]
%       \setlength{\unitlength}{1.0cm}
%       \begin{center}
%       \begin{picture}(10,6)(0,0)
%       \put(0,0){\rotatebox{0}{\includegraphics[width=14cm,height=10cm]{arbre.pdf}}}
%       \put(2.7,4.1){ $\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\dot{x}=f(x)}$}
%       \put(2.3,0.8){${\textbf{ODE45}}$}
%       \put(1.0,0.4){{-Runge Kutta 2}}
%       \put(0.6,0.0){{-Runge Kutta 4}}
%       \put(1.4,-0.4){{-Euler}}
%       \put(4.5,0.8){{\textbf{Le Calcul d'int\'{e}grale}}}
%       \put(7.5,0.4){{\textbf{Le cas linéaire}}}
%       \put(4.5,0.0){{\textbf{Le cas N.linéaire :}}}
%       \put(5,-0.4){{-le calcule explicite}}
%       \put(5.2,-0.8){{-Appel la méthode numérique}}
%       \put(5.4,-1.2){{shéma d'Euler explicite}}
%       \end{picture}
%       \end{center}
%       \vspace{1cm}\caption{Quelque technique de la résolution d' EDO} \label{figf1}
%  \end{figure}
\subsection{Rappel 2 : }
\subsection{G\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Quelques calculs diff\'{e}rentiels}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Le calcule de la matrice jacobienne du syst\`{e}me AM2 :
\begin{align*}
F(x)&=[\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}], \quad i=j=4
\end{align*}
\begin{align*}
f_1(S^1,B^1,S^2,B^2) &= D\,(S^1_{in}-S^1)-k_1\,\mu_1(S^1)\,B^1
\\
f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= [\mu_1(S^1)-\alpha\,D]\,B^1
\\
f_3(S^1,B^1,S^2,B^2) &= D\,(S^2_{in}-S^2)+k_2\,\mu_1(S^1)\,B^1-k_3\,\mu_2(S^2)\,B^2
\\
f_4(S^1,B^1,S^2,B^2) &=  [\mu_2(S^2)-\alpha\,D]\,B^2
\end{align*}
avec
\begin{align*}
  x(t)&=(x^1(t),x^2(t),x^3(t),x^4(t))^*=(s^1(t),b^1(t),s^2(t),b^2(t))^*
\end{align*}
alors
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align*}
\partial_{S^1}f_1(S^1,B^1,S^2,B^2) &= -D-k_1\mu^{'}_1(S_1)\,B_1
\\
\partial_{B^1}f_1(S^1,B^1,S^2,B^2) &= -k_1\,\mu_1(S_1)
\\
\partial_{S^2}f_1(S^1,B^1,S^2,B^2) &= 0
\\
\partial_{B^2}f_1(S^1,B^1,S^2,B^2) &= 0
\end{align*}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align*}
\partial_{S^1}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= \mu^{'}_1(S_1)\,B_1
\\
\partial_{B^1}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= \mu_1(S_1)-\alpha\,D
\\
\partial_{S^2}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= 0
\\
\partial_{B^2}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= 0
\end{align*}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align*}
\partial_{S^1}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= k_2\,\mu^{'}_1(S_1)\,B_1
\\
\partial_{B^1}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= k_2\,\mu_1(S_1)
\\
\partial_{S^2}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= D-k_3\,\mu^{'}_2(S_2)\,B_2
\\
\partial_{B^2}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= -k_3\,\mu_2(S_2)
\end{align*}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{align*}
\partial_{S^1}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= 0
\\
\partial_{B^1}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= 0
\\
\partial_{S^2}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= \mu^{'}_2(S_2)\,B_2
\\
\partial_{B^2}f_2(S^1,B^1,S^2,B^2) &= \mu_2(S_2)-\alpha\,D
\end{align*}
%---------------------------------------------------------------------
Avec
\begin{align*}
      \mu_1(S^1) &= \mu_{max_{1}}\,\frac{S^1}{S^1\,+\,K_1}\,,&
      \mu_1^{'}(S^1) &= \mu_{max_{1}}\,\frac{K_1}{(S^1\,+\,K_1)^2}
\end{align*}
\begin{align*}
      \mu_2(S^2) &= \mu_{max_{2}}\,\frac{S^2}{S^2\,+\,K_2}\,,&
      \mu_2^{'}(S^2) &= \mu_{max_{2}}\,\frac{K_2}{(S^2\,+\,K_2)^2}
\end{align*}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bibliographystyle{plainnat-fr}


%\bibliography{lib/bibliographie}
%%%%%%%%%%%% Example 1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{thebibliography}{100}  % 100 is a random guess of the total number of
%%references
%\addtolength{\leftmargin}{0.2in} % sets up alignment with the following line.
%\setlength{\itemindent}{-0.2in}
%\bibitem[Ber2001]{Bernard2001} Denis, D., Hadj-Sadock, Z., Genoversi, A., Dochain, D.,and Steyer, J-P. (2001). \emph{Dynamical model developement and parameter identification for an anaerobic wastewater treatment process }. Biotehnology and Bioengineering, 424-438.
% \bibitem[Ben2012]{Bernard2001} Denis, D., Hadj-Sadock, Z., Genoversi, A., Dochain, D.,and Steyer, J-P. (2001). \emph{Dynamical model developement and parameter identification for an anaerobic wastewater treatment process }. Biotehnology and Bioengineering, 424-438.
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%\bibitem{Pan} Pan, D., ``A Tutorial on MPEG/Audio Compression," \emph{IEEE
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%\end{thebibliography}
%%%%%%%%%%%%% end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document} 